Question

No alto de uma montanha de 30 m de altura, um arqueiro deformou seu arco de 50 cm para lançar uma flecha de 0,1 kg. A flecha subiu e desceu atingindo o solo com uma velocidade de 20 m/s. Se metade do calor produzido devido à interação entre a flecha e o ar foi absorvido pela flecha, qual o aumento de temperatura que a flecha teve durante todo o movimento? Dados: Capacidade térmica da flecha = 100 J/°C Constante elástica do arco = 80 N/m Aceleração da gravidade = 10 m/s²
A) 0,1 °C
B) 0,2 °C
C) 0,3 °C
D) 0,4 °C​

Answer 1

Resposta: Letra A) dT ≅ 0,1 ºC

Explicação:

Primeiro, há que se calcular o valor da velocidade inicial da flecha, isto é, ao sair do arco. Isso é possível com a consideração do balanço de energia. Ou seja:

$E_{pot. elastica} =E_{cinetica}$

$\frac{1}{2} .k.x^{2}= \frac{1}{2} .m.v^{2}$

$\frac{1}{2} .80.(0,3)^{2}= \frac{1}{2} .(0,1).v^{2}$   ⇒   $v^{2}=\frac{80.(0,3)^{2}}{(0,1)}$  ⇒  $v=6.\sqrt{2}m/s$

Outra análise do balanço de energia mecânica, agora entre a ponto de arremesso da flecha e o solo, permite a obtenção da energia dissipada no trajeto. Ou seja:

$E_{mec. ponto.arremesso} =E_{mec.solo}$ ⇒

$\frac{1}{2} .m. v^{2} +m.g.H=\frac{1}{2} .m. v_{solo}^{2} -E_{dissipada}$  ⇒

$E_{dissipada} =\frac{1}{2} .m. v_{solo}^{2}-\frac{1}{2} .m. v^{2} -m.g.H$

$E_{dissipada} =\frac{1}{2} .(0,1). (20)^{2}-\frac{1}{2} .(0,1). (6.\sqrt{2}) ^{2} -(0,1).10.30= -13,6J$

O sinal negativo se refere ao fato de ter havido "perda" de energia por efeitos de dissipação. Na verdade é a energia transformada em calor na flecha e cedida às moléculas do ar, devido à resistência do ar sobre a flecha.

Para o caso proposto, devemos considerar que metade dessa energia dissipada se transformou em calo na flecha. Assim:

$\frac{|E_{dissipada}|}{2}=Q=\frac{C}{dT}$

$dT=\frac{|E_{dissipada}|}{2.C}=\frac{13,6}{2.100}=0,068 celsius$

dT = 0,068 °C ≅ 0,1 ºC