Question

Nível HARD Equações diferenciais Parciais (EDP) Nível HARD

Como posso resolver o problema?

$\left \{ {{\Delta u+u=h(x)|u|^{q-2}u \; em\; \mathbb{R}^N} \atop {u\in H^1(\mathbb{R}^{N})}} \right.$
$1\ \textless \ q\ \textless \ 2, h\in L^{2^*/(2^*-q)}(\mathbb{R}^N)\,\,h(x)\geq0 \,\,e\,\,h\neq 0.$

Answer 1

Você pode aplicar um corolário do Princípio Variacional de Ekeland. Que diz o seguinte:

Sejam E um espaço de Banach e I: E-> R um funcional de classe C^1, limitado inferiormente. Então, existe (u_n) uma sequência palais-smale no nível d para I, onde d=inf_{u∈E}I(u). 

Use o funcional associado ao problema
$I(u)= \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int |\nabla u|^2- \frac{1}{2}\int|u|^2 -\frac{1}{q}\int h(x)|u|^q$.

Tenha em mente o conceito de variedade de Nehari associada ao funcional I e alguns resultados relativos. O Teorema da convergência de Lebesgue pode ser usado para concluir que determinado u no domínio do funcional é ponto critico. Essa u será solução do seu problema, mais ainda, u é não trivial.