Question

Niveeellll Hard de Cálculo, pergunta pros Crânios!!! Considere a função f(x,y) = xcosy-2ye^x. Determine, resolvendo passo a passo, a soma das derivadas parciais de segunda ordem no ponto (ln3, π).

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo multivariável.

Considere a função $f(x,~y)=x\cos(y)-2ye^x$. Devemos determinar a soma de suas derivadas parciais de segunda ordem no ponto $(\ln(3),~\pi)$.

Então, calculamos as derivadas parciais de primeira ordem da função: $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ e $\dfrac{\partial f}{\partial y}$

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial }{\partial x}(x\cos(y)-2ye^x)$

Para calcular esta derivada, lembre-se que:

• A derivada parcial de uma função em respeito a uma de suas variáveis é calculada considerando o restante das variáveis como constantes.

• Com isso, a derivada parcial de uma função $\dfrac{\partial}{\partial x}(g(y))=0$.

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.

• A derivada do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrita como: $\dfrac{\partial}{\partial x}(c\cdot f(x))=c\cdot \dfrac{\partial f}{\partial x}$ .
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $\dfrac{\partial}{\partial x}(x^n)=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada da função cosseno é igual ao oposto da função seno.
• A derivada da função seno é igual a função cosseno.
• A derivada da função exponencial é igual a própria função exponencial.

Aplique a regra da soma

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(x\cos(y))-\dfrac{\partial}{\partial x}(2ye^x)$

Aplique a regra da constante

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\cos(y)\cdot\dfrac{\partial}{\partial x}(x)-2y\cdot\dfrac{\partial}{\partial x}(e^x)$

Calcule a derivada da potência e da função exponencial

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\cos(y)\cdot1\cdot x^{1-1}-2y\cdot e^x\\\\\\ \boxed{\dfrac{\partial f}{\partial x}=\cos(y)-2y\cdot e^x}$

Agora, calcule a derivada parcial da função em respeito à variável $y$

$\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(x\cos(y)-2ye^x)$

Aplique a regra da soma e da constante

$\dfrac{\partial f}{\partial y}=x\cdot\dfrac{\partial}{\partial y}(\cos(y))-2e^x\cdot\dfrac{\partial}{\partial y}(y)$

Calcule a derivada da função cosseno e da potência

$\dfrac{\partial f}{\partial y}=x\cdot(-\sin(y))-2e^x\cdot1\cdot y^{1-1}\\\\\\ \boxed{\dfrac{\partial f}{\partial y}=-x\sin(y)-2e^x}$

Então, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem: $\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2},~\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2},~\dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y}$ e $\dfrac{\partial^2f}{\partial y\partial x}$.

Comecemos pelas derivadas parciais mistas. Lembre-se que, para algumas famílias de funções, as derivadas parciais mistas são iguais de acordo com o Teorema de Clairaut-Schwarz e são calculadas pelas fórmulas: $\dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)$.

Calculando $\dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y}$, temos:

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial x}(-x\sin(y)-2e^x)$

Aplique a regra da soma e da constante

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=-\sin(y)\cdot\dfrac{\partial}{\partial x}(x)-2\cdot\dfrac{\partial}{\partial x}(e^x)$

Calcule a derivada da potência e da função exponencial

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=-\sin(y)\cdot1\cdot x^{1-1}-2\cdot e^x\\\\\\ \boxed{\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=-\sin(y)-2e^x}$

Então, calculamos $\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}$ e $\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}$, sabendo que $\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}\right)$.

$\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}=\dfrac{\partial}{\partial x}(\cos(y)-2ye^x)$

Aplique a regra da soma e da constante

$\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}=-2y\cdot\dfrac{\partial f}{\partial x}(e^x)$

Calcule a derivada da função exponencial

$\boxed{\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}=-2ye^x}$

Faça o mesmo para a derivada parcial de segunda ordem em respeito a $y$

$\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}=\dfrac{\partial}{\partial y}(-x\sin(y)-2e^x)$

Aplique a regra da soma e da constante

$\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}=-x\cdot\dfrac{\partial}{\partial y}(\sin(y))$

Calcule a derivada da função seno

$\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}=-x\cdot\cos(y)\\\\\\\boxed{\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}=-x\cos(y)}$

Por fim, calculamos a soma destas derivadas parciais de segunda ordem avaliadas no ponto $(\ln(3),~\pi)$:

$-2\pi\cdot e^{\ln(3)}-\ln(3)\cdot\cos(\pi)+2(-\sin(\pi)-2e^{\ln(3)})$

Sabendo que $e^{\ln(3)}=3,~\cos(\pi)=-1$ e $\sin(\pi)=0$, temos:

$-2\pi\cdot 3-\ln(3)\cdot(-1)+2\cdot(-2\cdot 3)\\\\\\ \ln(3)-6\pi-12~~\checkmark$