Question

Nina pensava que o número 280 fosse um quadrado perfeito, mas, ao decompor em fatores primos, percebeu que não era.
a) qual é o menor número pelo qual ela deverá multiplicar o número 280 para se obter um número quadrado perfeito? Apresente os cálculos utilizados para chegar à resposta.
b) qual quadrado perfeito será encontrado por Nina ao se realizar essa multiplicação? encontre o valor de sua raiz quadrada.

Answer 1

Olá, Anny.

Para que um número qualquer seja um quadrado perfeito, sua decomposição em fatores primos deve ser um produto de fatores primos com expoentes pares.
A decomposição em fatores primos de 280 é:

280|2
140|2
  70|2
  35|5
    7|7
    1|

$280=2^3\cdot5\cdot7$

Os expoentes dos fatores primos 2, 3 e 7 são, respectivamente, 3, 1 e 1. Para que os expoentes se tornem pares, devemos multiplicar por 2, 5 e 7. Assim:

$280=2^3\cdot5\cdot7\cdot2\cdot5\cdot7=2^4\cdot5^2\cdot7^2$

a) Conforme demonstrado acima, o menor número que deve ser multiplicado por 280 para que ele se torne um quadrado perfeito é 2 × 5 × 7 = $\boxed{70}.$

b) O quadrado perfeito encontrado é 280 × 70 = 19.600 e a raiz quadrada deste número é $\sqrt{19.600}=\boxed{140}.$