Question

NESTA QUESTÃO VOCÊ DEVE
Considerando uma elipse com centro na origem, focos num dos eixos coordenados e passando pelos pontos (0, 5) e (13, 0), determine os focos da elipse de forma manual e sua área.​

Answer 1

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⠀⠀⠀☞ Assumindo o eixo maior no eixo x então os focos estão em (-12, 0) e (12, 0), caso o eixo maior estivesse no eixo y então os focos estariam em (0, -12) e (0, 12). Sua área é de 65π [u.a.]✅

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⠀⠀⚡ " -Qual é a forma geral de uma equação de elipse?"

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                             $\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf \dfrac{(x - x_0)^2}{a^2} + \dfrac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf a }}$ sendo a semi-distância das extremidades A₁ e A₂ do eixo maior (também chamado de semi-eixo maior) - lembrando que pela definição de elipse a soma da distância de qualquer ponto da elipse até o foco 1 com a distância de deste mesmo ponto até o foco 2 sempre será igual ao dobro de a;

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf b }}$ sendo a semi-distância das extremidades B₁ e B₂ do eixo menor (também chamado de semi-eixo menor);

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\orange{ \sf (x_0, y_0) }}$ sendo as coordenadas do centro O da elipse.

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⠀⠀⠀➡️⠀Vamos assumir que o eixo maior está sobre o eixo x. Desta forma temos um sistema de duas equações e duas variáveis:

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$\blue{\LARGE\begin{cases}\sf~I)~\dfrac{0^2}{a^2} + \dfrac{5^2}{b^2} = 1\\\\\\ \sf~II)~\dfrac{13^2}{a^2} + \dfrac{0^2}{b^2} = 1 \end{cases}}$

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__Encontrando b______✍

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⠀⠀⠀➡️⠀De I) temos que:

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$\LARGE\blue{\sf \dfrac{25}{b^2} = 1}$

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$\LARGE\blue{\sf b^2 = 25}$

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$\LARGE\blue{\sf \sqrt{b^2} = \pm \sqrt{25}}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Como b é uma distância então assumiremos somente a solução positiva desta radiciação:

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                                             $\qquad\qquad\quad\huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{b}~\pink{=}~\blue{5}~~~}}$

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__Encontrando a______✍

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⠀⠀⠀➡️⠀De semelhante forma para II) temos que:

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$\LARGE\blue{\sf \dfrac{13^2}{a^2} = 1}$

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$\LARGE\blue{\sf a^2 = 13}$

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$\LARGE\blue{\sf \sqrt{a^2} = \pm \sqrt{13}}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Como a é uma distância então assumiremos somente a solução positiva desta radiciação:

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                                             $\qquad\qquad\quad\huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{a}~\pink{=}~\blue{ 13}~~~}}$

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__Encontrando c______✍

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⠀⠀⠀➡️⠀Temos, pela relação de Pitágoras, que:

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$\LARGE\blue{\sf 13^2 = 5^2 + c^2}$

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$\LARGE\blue{\sf 169 = 25 + c^2}$

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$\LARGE\blue{\sf c^2 = 169 - 25}$

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$\LARGE\blue{\sf \sqrt{c^2} = \pm \sqrt{144}}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Como c é uma distância então assumiremos somente a solução positiva desta radiciação:

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                                             $\qquad\qquad\quad\huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{c}~\pink{=}~\blue{ 12 }~~~}}$

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__Encontrando os focos✍

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⠀⠀⠀➡️⠀Como o eixo maior está sobre o eixo x então temos que os focos estarão em (x₀ ± c, y₀), ou seja:

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                                   $\quad\huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{f}~\pink{=}~\blue{ (\pm 12, 0) }~~~}}$ ✅

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⚡ " -Qual é a equação para a área de uma elipse?"

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                                        $\qquad\LARGE\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf A_e = a \cdot b \cdot \pi}&\\&&\\\end{array}}}}}$  

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⠀⠀⠀➡️⠀Ou seja:

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$\LARGE\blue{\sf A_e = 5 \cdot 13 \cdot \pi}$

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                                 $\LARGE\green{\boxed{\rm~~~\gray{A_e}~\pink{=}~\blue{ 65 \cdot \pi~[u.a.] }~~~}}$ ✅

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                             $\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

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⠀⠀☀️ L͎̙͖͉̥̳͖̭̟͊̀̏͒͑̓͊͗̋̈́ͅeia mais sobre elipses:

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                                     $\huge\blue{\text{\bf\quad Bons~estudos.}}$⠀☕

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                                          $\quad\qquad(\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios})$ ☄

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                             $\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }\LaTeX}$✍

                                $\sf(\purple{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly}$ ☘☀❄☃☂☻)

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                                                          $\Huge\green{\text{ \underline{\red{\mathbb{S}}\blue{\mathfrak{oli}}~}~\underline{\red{\mathbb{D}}\blue{\mathfrak{eo}}~}~\underline{\red{\mathbb{G}}\blue{\mathfrak{loria}}~} }}$ ✞

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