Question

Nessa figura, qual o número de triângulos que se obtém com vértices nos pontos D, E, F, G, H, I, J?

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

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Para criar um triângulo precisamos de 3 pontos dos 7 disponíveis.

Como a ordem não importa, usamos a fórmula da combinação:

$\boxed{C_{n,k} =\dfrac{n!}{(n-k)!\ .\ k!} }$

Calculando o número total de casos:

$C_{7,3} =\dfrac{7!}{(7-3)!\ .\ 3!}\\\\C_{7,3} =\dfrac{7!}{4!\ .\ 3!}\\\\C_{7,3} =\dfrac{7\ .\ 6\ .\ 5\ .\ 4! }{4!\ .\ 3\ .\ 2\ .\ 1 }\\\\C_{7,3}=7.5\\\\\boxed{C_{7,3}=35}$

Para forma um triângulo precisamos de 3 pontos não colineares. E no segmento de reta $\overline{AC}$ conseguimos escolher algumas combinações de 3 pontos colineares.

Calculando os casos que não servem:

$C_{4,3} =\dfrac{4!}{(4-3)!\ .\ 3!} \\\\C_{4,3} =\dfrac{4!}{1!\ .\ 3!} \\\\C_{4,3} =\dfrac{4\ .\ 3!}{ 3!}\\\\\boxed{C_{4,3} =4}$

Calculando o número de casos favoráveis:

$C_{7,3}-C_{4,3} =35-4=\boxed{\boxed{31\ \text{tri\^angulos}}}$