Question

Nessa conta de logaritmo:
Sendo log2=0,30 e log3=0,47:
a)log√14,4 ( a raiz pega o 14,4 todo, é porque eu não soube colocar)

Chega nesse ponto log(144/10) ½
que fica 1/2. log144/10
Eu gostaria de saber o porque que pode passar o expoente 1/2 para mutiplicar com o próprio log

Answer 1

Vamos pegar pela definição. Sejam $a, \ b,\ x$ e $y$ números quaisquer, de modo que $\log a=x$ e $\log a^b=y$; a base desses logaritmos é a base 10, mas esse raciocínio funciona para outras bases também. Pela definição a gente encontra o seguinte:

$\log a=x \Leftrightarrow a=10^x$

Agora vamos calcular, pela definição, o valor de $\log a^b$:

$\log a^b=y\Leftrightarrow a^b=10^y \ (\mathrm{Sabemos \ que}\ a=10^x)\\ (10^x)^b=10^y\Rightarrow 10^{b.x}=10^y \ (\mathrm{Bases\ iguais,\ iguala\ os\ expoentes})\\ b.x=y\\ \\ \boxed{b.\log a=\log a^b}$

É por isso que você sempre pode "tirar o expoente" do logaritmo e multiplicar com o próprio log.