Question

Nessa atividade você deverá utilizar os conceitos de função e derivadas para resolver os seguintes problemas de otimização:


1) Suponha que uma empresa tenha estabelecido uma relação entre o lucro (em milhares de dólares) e a quantidade x gasta em publicidade (em milhares de dólares) segundo a função
L(x) = -2x3 + 35x2 - 100x + 20.

Encontre a quantidade x que maximiza o lucro L, bem como o lucro máximo.



2) Complete o quadro abaixo com os dígitos do seu RA.
A B C D E F G H
1 7 2 8 2 0 3 5

Agora, considere o seguinte problema:
Em uma feira de tecnologias, deve-se reservar um espaço para montar o stand de uma empresa. Pretende-se utilizar um espaço retangular limitado por duas paredes e utilizar dois painéis móveis, conforme esquema abaixo.
obs: Ver imagem 1

Para as paredes paralelas, deve-se deixar espaço para a instalação de balcões de 5F cm e 7G cm de profundidade para acomodar computadores e demais materiais.

(Não significa que as quatro paredes serão preenchidas com balcão, mas deve-se prever o espaço).

Aqui você deve trocar os dígitos F e G que aparecem nas medidas dos balcões pelos valores correspondentes a F e G na tabela com o seu RA.

Por exemplo, se F=3, então a largura do balcão de uma das paredes será de 53 cm.

obs: ver imagem 2


Sabendo-se que estão disponíveis 18m de divisórias para as paredes móveis, determine as dimensões que maximizarão a área livre no stand.

obs: ver imagem 3

Answer 1

Resposta:

Conforme abaixo!

Explicação passo-a-passo:

1)

Para responder, basta derivar e analisar:

$L(x)=-2x^3+35x^2-100x+20\\L'(x)=-6x^2+70x-100\\L'(x)=0\\-6x^2+70x-100=0\\\Delta=70^2-4(-6)(-100)=4900-2400=2500\\x=\dfrac{-70\pm\sqrt{2500}}{2(-6)}\\x=\dfrac{70\mp 50}{12}\\x'=\dfrac{70+50}{12}=\dfrac{120}{12}=10\\x''=\dfrac{70-50}{12}=\dfrac{20}{12}=\dfrac{5}{3}$

Agora, com os dois resultados, podemos analisar qual deles é ponto de máximo e qual é ponto de mínimo, através da derivada segunda:

$L''(x)=-12x+70$

Onde a derivada segunda for negativa, teremos um ponto de máximo. Positiva, ponto de mínimo.

$L''(10)=-12(10)+70=-120+70=-50$

Ponto de MÁXIMO.

$L''\left(\dfrac{5}{3}\right)=-12\cdot\dfrac{5}{3}+70=-20+70=50$

Ponto de MÍNIMO.

Então, em x=10 teremos o lucro MÁXIMO.

Este lucro será:

$L(10)=-2(10)^3+35(10)^2-100(10)+20=-2(1000)+35(100)-1000+20=-2000+3500-1000+20=520$

2)

Se temos 18m de divisórias:

$C(x,y)=x+y=18$

Temos que determinar as dimensões de x e y que maximizem a área dada.

No caso:

$A=(x-10F)(y-14G)=(xy-14xG-10yF+140FG)$

Do comprimento total das divisórias:

$x+y=18\\y=18-x$

Agora só resolver:

$A(x)=x(18-x)-14xG-10(18-x)F+140FG\\A'(x)=18-x-x-14G+10F=0\\2x=18-14G+10F\\x=9-7G+5F$

Consequentemente:

$y=9+7G-5F$

Agora temos que analisar se os valores de F e G possibilitarão termos respostas positivas.

Espero ter ajudado!