Question

Necessita-se adubar um terreno acrescentando a cada 10 m2 140 g de nitrato e 190 g de fosfato Dispõe-se de três qualidades de adubo com as seguintes características: 1- Cada quilograma do adubo I custa R$ 5,00 e contém 10 g de nitrato e 10 g de fosfato 2- Cada quilograma do adubo II custa R$ 6,00 e contém 10 g de nitrato e 102 g de fosfato 3- Cada quilograma do adubo III custa R$ 10,00 e contém 50 g de nitrato e 20 g de fosfato Quanto de cada adubo devemos misturar para conseguir o efeito desejado se estamos dispostos a gastar R$ 50,00 a cada 10 m2 com a adubação?

Answer 1

Método de escalonamento
X=6; Y=1 e Z 1,4

Answer 2

descobrimos que é preciso comprar 6 kg do adubo de tipo I, 1 kg do adubo de tipo II e 1,4kg do adubo de tipo III através do uso de técnicas para resolução de sistemas lineares

cada 10 m^2 precisa de

140g de nitrato

190g de fosfato

podemos escrever as caracteristicas de cada adubo fazendo a seguinte tabela:

$\begin{matrix}</p><p>tipo de & nitrato & fosfato&prec_{\!\!\!,}o\\</p><p>adubo & & &\\</p><p>I & 10 & 10 & R 5 \\</p><p>II & 10 & 102 & R 6 \\</p><p>III & 50 & 20 & R 10</p><p>\end{matrix}$

Queremos encontrar a forma mais barata de comprar, mas, ao mesmo tempo, obedecendo as restrições do solo.

Para isso, podemos escrever o seguinte sistema linear:

$\begin{matrix}</p><p></p><p>Nitrato & 10x &+ 10y & +50z & = 140 \\</p><p></p><p>Fosfato &10x & +102y& +20z &= 190\\</p><p></p><p>\end{matrix}$

Como temos apenas dois tipos de nutrientes a serem atendidos e 3 tipos de adubos, podemos escrever a quantidade a se comprar de um dos adubos (por exemplo, $x$) em função da quantidade dos outros dois adubos.

Assim, o sistema fica

$\begin{matrix}</p><p></p><p>Nitrato & 10x=&- 10y & - 50z & +140 \\</p><p></p><p>Fosfato &10x=& - 102y& - 20z &+190\\</p><p></p><p>\end{matrix}$

Igualando a equação para o nitrato com a equação para o fosfato, temos:

$10x=10x$ (para o lado esquerdo)

$- 10y-50z+140=-102y-20z+190$ (para o lado direito)

Para resolver o lado direito podemos escrever $z$ em função de $y$

$- 10y-50z+140=-102y-20z+190\\-50z+20z=-102y+10y+190-140\\-30z=-92y+50\\\=\frac{-92y-50}{30}$

Temos agora duas equações !

(eq 1) $10x=140-10y-50z$

(eq 2) $z=\frac{92y-50}{30}$

Elas respondem quantos adubos do tipo $x$ (tipo I) e do tipo $z$ (tipo III) se deve comprar para cada adubo do tipo $y$ (tipo II)

Então, ao comprar 1 adubo do tipo II teremos os seguintes resultados:

(eq 2) $z=\frac{92\times1-50}{30}=\frac{14}{10}$

(eq 1) $10x=140-10\times1-50\times\frac{14}{10}==>x=14-1-7=6$

Entao para cada kilograma de adubo do tipo II, precisaremos comprar:

1,4 kilogramas de adubo do tipo III

6 kilogramas de adubo do tipo I

Relembrando a tabela de preços

$\begin{matrix}</p><p>tipo de &prec_{\!\!\!,}o\\</p><p>adubo &\\</p><p>I& R 5 \\</p><p>II& R 6 \\</p><p>III& R 10\end{matrix}$

O total que será gasto para esta compra é:

$6\times5+1\times6+1,4\times10=30+6+14=50$ reais