Question

Nas superfícies a seguir determine: Interseções com os eixos coordenados, interseções sobre os planos coordenados (traços), simetria, seções de planos paralelos aos planos coordenados.


a) $3x+4y+2z-12=0$

b)$y= 4x^{2} + z^{2}$

Answer 1

Esboços em anexo.


a) $3x+4y+2z-12=0$

Equação geral de um plano.

Interseções com os eixos:

• Eixo $x:$

(faz $y=z=0$ na equação)

$3x-12=0\\\\ x=4$

Ponto (4, 0, 0).


• Eixo $y:$

(faz $x=z=0$ na equação)

$4y-12=0\\\\ y=3$

Ponto (0, 3, 0).


• Eixo $z:$

(faz $x=y=0$ na equação)

$2z-12=0\\\\ z=6$

Ponto (0, 0, 6).

_______

Traços:

• Interseção com o plano $xy$

(faz $z=0$ na equação)

$3x+4y-12=0\\\\ y=-\,\dfrac{3}{4}\,x+3$

que é uma reta.


• Interseção com o plano $xz$

(faz $y=0$ na equação)

$3x+2z-12=0\\\\ z=-\,\dfrac{3}{2}\,x+6$

que é uma reta.


• Interseção com o plano $yz$

(faz $x=0$ na equação)

$4y+2z-12=0\\\\ z=-2y+6$

que é uma reta.

________

Seções de planos paralelos aos planos coordenados:

• ao plano $xy$

( faz $z=k,$ onde $k$ é uma constante )

$3x+4y+2k-12=0\\\\ 3x+4y=12-2k$

são retas.


• ao plano $xz$

( faz $y=k,$ onde $k$ é uma constante )

$3x+4k+2z-12=0\\\\ 3x+2z=12-4k$

são retas.


• ao plano $yz$

( faz $x=k,$ onde $k$ é uma constante )

$3k+4y+2z-12=0\\\\ 4y+2z=12-3k$

são retas.

__________

Não tem simetrias em relação aos planos coordenados, pois alternando os sinais das variáveis, obtemos equações de planos diferentes.

Todas as retas contidas no plano são eixos de simetria pois os dividem em dois semiplanos.


b) $y=4x^2+z^2$

Interseções com os eixos:

• Eixo $x:$

(faz $y=z=0$ na equação)

$0=4x^2\\\\ x=0$


A interseção com o eixo $x$ ocorre na origem, no ponto (0, 0, 0)


As interseções com o eixo $y$ e o eixo $z$ também é a origem.

O ponto (0, 0, 0) é o único ponto de interseção da superfície com os eixos coordenados.

_________

Traços:

• Plano $xy$

(faz $z=0$ na equação)

$y=4x^2$

é uma parábola.


• Plano $xz$

(faz $y=0$ na equação)

$0=4x^2+z^2~~\Rightarrow~~x=z=0$

É um ponto: a origem (0, 0, 0).

O plano $xz$ é tangente à superfície na origem.


• Plano $yz$

(faz $z=0$ na equação)

$y=z^2$

é uma parábola.

_________

Seções de planos paralelos aos aos planos coordenados:

• ao plano $xy$

( faz $z=k,$ onde $k$ é uma constante. A equação obtida é a projeção da interseção sobre o plano $xy$ )

$y=4x^2+k^2$

são parábolas.


• ao plano $xz$

( faz $y=k,$ onde $k$ é uma constante. A equação obtida é a projeção da interseção sobre o plano $xz$ )

$k=4x^2+z^2$

Note que se $k<0,$ não há interseção. Logo, vemos que a superfície só tem interseção

para $k=0$ já fizemos encontramos a origem (0, 0, 0);

para $k>0,$

$4x^2+z^2=k\\\\ 4x^2+z^2=\big(\sqrt{k}\big)^{\!2}\\\\ \dfrac{4x^2}{\big(\sqrt{k}\big)^{\!2}}+\dfrac{z^2}{\big(\sqrt{k}\big)^{\!2}}=1\\\\\\ \dfrac{x^2}{{\left(\frac{\sqrt{k}}{2}\right)^{\!2}}}+\dfrac{z^2}{\big(\sqrt{k}\big)^{\!2}}=1$

que são elipses.


Trata-se de um paraboloide elíptico

________

Simetrias em relação a planos coordenados:

• ao plano $yz$

Se trocarmos $x$ por $-x$ na equação, obtemos

$4(-x)^2+z^2=y\\\\ 4x^2+z^2=y~~~~(\text{\'e uma equa\c{c}\~ao equivalente})$

Logo, o plano $yz$ é um plano de simetria.


• ao plano $xz$

Se trocarmos $y$ por $-y$ na equação, obtemos

$4x^2+z^2=-y~~~~(\text{n\~ao \'e uma equa\c{c}\~ao equivalente})$

Logo, o plano $xz$ não é um plano de simetria.


• ao plano $xy:$

Se trocarmos $z$ por $-z$ na equação, obtemos

$4x^2+(-z)^2=y\\\\ 4x^2+z^2=y~~~~(\text{\'e uma equa\c{c}\~ao equivalente})$

Logo, o plano $xy$ é um plano de simetria do paraboloide elíptico.

________

Simetrias em relação a eixos coordenados:

• Eixo $y:$

Trocando $x$ por $-x,$ e $z$ por $-z,$ temos

$4(-x)^2+(-z)^2=y\\\\ 4x^2+z^2=y~~~~(\text{\'e uma equa\c{c}\~ao equivalente})$

O eixo $y$ é um eixo de simetria deste paraboloide elíptico.


• Eixo $z:$

Trocando $x$ por $-x,$ e $y$ por $-y,$ temos

$4x^2+(-z)^2=-y\\\\ 4x^2+z^2=-y~~~~(\text{n\~ao \'e uma equa\c{c}\~ao equivalente})$

Não é simétrico em relação ao eixo $z.$


• Eixo $x:$

Trocando $y$ por $-y,$ e $z$ por $-z,$ temos

$4x^2+(-z)^2=-y\\\\ 4x^2+z^2=-y~~~~(\text{n\~ao \'e uma equa\c{c}\~ao equivalente})$

Não é simétrico em relação ao eixo $x.$