Question

nas questoes a seguir,determine o conjunto solução das inequações:

a)4- x^{2} >0
b)6 x^{2} -2x+3>0
c) x^{2} -10x+25<0
d) x^{2} +6x-9<0
e) x^{2} -7x+10<0

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Maria, que é simples a resolução.

Antes de iniciarmos qualquer coisa, lembre-se que toda equação do 2º grau, da forma: f(x) = ax² + bx + c, com raízes x' e x'' tem a seguinte variação de sinais:

i) f(x) terá o mesmo sinal do termo "a" para valores de "x" extrarraízes (fora das raízes, ou seja, para x < x' e para x > x'')). Observação: o termo "a" é o coeficiente de x².
ii) f(x) = 0, para valores de "x" iguais às raízes.
iii) f(x) terá sinal contrário ao do termo "a" para valores de "x" intrarraízes (entre as raízes, ou seja entre x' e x'' ---> x' < x < x'').

Bem, visto isso, vamos tentar resolver as suas questões de inequação.

a) 4 - x² > 0 --- ou, o que é a mesma coisa:

-x² + 4 > 0.

Veja: vamos encontrar as raízes de "-x²+4 = 0" para podermos analisar os sinais de cada uma das inequações. Assim:

-x² + 4 = 0
-x² = - 4 ----- ou apenas:
x² = 4
x = +-√(4) ---- como √(4)= 2, teremos:
x = +-2 ---- daqui vemos que: x' = - 2; e x'' = 2.

Agora vamos analisar a variação de sinais. Assim:

-x² + 4 > 0 .... - - - - - - - -  (-2) + + + + + + + + +  (2) - - - - - - - - - - - 

Como queremos que que a inequação original seja MAIOR do que zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MAIS no gráfico acima. Assim, o domínio da inequação dada será:

-2 < x < 2 ------- Esta é a resposta para a questão do item "a".


b) 6x² - 2x + 3 > 0

Vamos encontrar as raízes de 6x²-2x+3 = 0. Aplicando Bháskara, vemos que a função NÃO tem raízes reais, pois o seu delta é menor do que zero. Quando isso ocorre numa inequação, "corremos" e verificamos qual é o sinal do termo "a" (que é o coeficiente de x²). Se o termo "a" for positivo, então a função será SEMPRE positiva para qualquer valor de "x" (e claro, se o termo "a" for negativo, a função irá ser sempre negativa também para qualquer valor de "x").
Como vemos que o termo "a" da função do item "b" é positivo, então a variação de sinais da inequação dada será:

6x² - 2x + 3 > 0 ... + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

Ou seja, a inequação acima será sempre positiva para qualquer valor que "x" venha a assumir. Logo, o conjunto-solução (domínio) será dado por:

x ∈ R (para todo "x" pertencente aos Reais).

 
c) x² -10x + 25 < 0

Vamos encontrar as raízes de "x²-10x+25 = 0". Aplicando Bháskara, veremos que as raízes serão: x' = x'' = 5.
Agora vamos analisar a variação de sinais:

x² - 10x + 25 < 0 ...+ + + + + + + + + + + + (5)+ + + + + + + + + + + + + + +

Veja: a função NUNCA será menor do que zero, como está proposto na questão. Note que para valores de "x" menores e maiores que as raízes (x'=x''=5) a função será sempre positiva. E será igual a zero, quando x = 5. Como está sendo pedido que ela seja menor do que zero, então o domínio da função acima será o conjunto vazio, que você poderá apresentar da seguinte forma:

D = ∅ ou D = { }
 

d) x² + 6x - 9 < 0

Vamos encontrar as raízes de "x²+6x-9 = 0". Aplicando Bháskara, você encontrará as seguintes raízes: x' = -3-3√(2) e x'' = -3+3√(2)

Agora vamos analisar a variação de sinais:

x² + 6x - 9 < 0.. + + + + + (-3-3√(2))- - - - - - - - (-3+3√(2)+ + + + + + + + +

Como queremos que a inequação seja MENOR do que zero, então vamos tomar apenas os valores intrarraízes, ou seja:

-3-3√(2) < x < -3+3√(2) ----- Este é o domínio da inequação do item "d".

e) x² - 7x + 10 < 0 

Vamos encontrar as raízes de "x²-7x+10=0". Aplicando Bháskara, vemos que as raízes serão: x' = 2 e x'' = 5.
Agora vamos analisar a variação de sinais da inequação dada em função de suas raízes. Assim:

x²-7x+10 < 0 ... + + + + + +  (2) - - - - - - - - - - - (5) + + + + + + + + + +

Como queremos que a inequação seja menor do que zero, então só nos vai interessar os valores de "x" que sejam intrarraízes. Assim, o domínio será:

2 < x < 5 ----- Esta é a resposta para a questão do item "e".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.