Question

Nas funções implícitas, a variável y geralmente não está isolada, como mostra a função a seguir: x3+x2y+y2=0 usando a derivaçao implicita qual o valor de y?

Answer 1

Acredito que seja pedido dy/dx.

Vamos então derivar ambos os lados em relação a "x".

$\dfrac{d}{dx}\left(x^3~+~x^2y~+~y^2\right)~=~\dfrac{d}{dx}\left(0\right)\\\\\\\dfrac{d}{dx}\left(x^3\right)~+~\underbrace{\dfrac{d}{dx}\left(x^2y\right)}_{^{Regra ~do}_{\,Produto}}~+~\underbrace{\dfrac{d}{dx}\left(y^2\right)}_{^{Regra ~da}_{~Cadeia}}~=~0\\\\\\3x^2~+~\left(2x\cdot y~+~\dfrac{d(y)}{dx}\cdot x^2\right)~+~\left(2y\cdot \dfrac{dy}{dx}\right)~=~0\\\\\\3x^2~+~2xy~+~x^2\,\dfrac{dy}{dx}\right)~+~2y\dfrac{dy}{dx}~=~0$

Podemos agora isolar dy/dx:

$x^2\,\dfrac{dy}{dx}\right)~+~2y\dfrac{dy}{dx}~=~-3x^2~-~2xy\\\\\\\dfrac{dy}{dx}\,\left(x^2~+~2y\right)~=~-\left(3x^2~+~2xy\right)\\\\\\\boxed{\dfrac{dy}{dx}~=~-\dfrac{3x^2~+~2xy}{x^2~+~2y}}$