Question

Nas embarcações é comum uƟlizar os cabelos para amarrar as espias. Ao olhar de cima, visualizamse duas circunferências. Ao dispor meia circunferência no quadrado ABCD de lado a, onde DB é a espia, obtêm-se o ponto de tangência F e como centro da circunferência o ponto E. O valor do raio do cabeço, em função de a, é

Answer 1

O valor do raio do cabeço, em função de a, é a(√2 - 1).

Vamos considerar que o raio da semicircunferência é igual a r. Sendo assim, temos que AE = EF = r.

Observe que, o triângulo EFB é retângulo, porque F é ponto de tangência. Além disso, temos que o ângulo B desse triângulo é igual a 45º, porque BD é a diagonal do quadrado.

Então, podemos afirmar que o triângulo EFB é isósceles. Assim, FB = r.

Utilizando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo EFB, obtemos a medida da hipotenusa EB:

EB² = r² + r²

EB² = 2r²

EB = r√2.

Note que AB = AE + EB e que AB = a. Portanto, a = r + r√2.

Mais precisamente, a = r(√2 + 1).

Como queremos o valor de r em função de a, então:

r = a/(√2 + 1)

r = a(√2 - 1).