Nas duas primeiras rodadas da copa américa de 2021, o brasil venceu a venezuela por 3 a 0 e o peru por 4 a 0. Considere x y, números pertencentes ao conjunto dos reais (r), cuja soma é equivalente ao total de gols nas duas rodadas. E cuja soma dos quadrados é 13. Determine o valor de x³+y³.
Soluções para a tarefa
Aplicando as propriedades dos produtos notáveis, pode-se concluir que o valor de x³ + y³ é -35.
Produtos Notáveis
Esta questão pode ser resolvida utilizando as propriedades dos produtos notáveis. Assim, sabemos que a soma de x e y resulta no total de gols em duas partidas do Brasil na Copa América, sendo uma partida 3 a 0 e outra 4 a 0. Logo, o total de gols é 7. Portanto:
x + y = 7
Sabemos ainda que a soma dos quadrados é 13. Ou seja:
x² + y² = 13
A partir disto, queremos descobrir qual o valor de x³ + y³. Começaremos a resolução através da primeira equação. Elevaremos ela ao quadrado, para podermos aplicar as propriedades de produtos notáveis. Logo:
x + y = 7
(x + y)² = 7²
(x + y)² = 49
Sabendo-se que a forma fatorada de (x + y)² é x² + 2xy + y², então:
x² + 2xy + y² = 49
Observe que podemos manejar a equação do seguinte modo:
x² + y² + 2xy = 49
Agora observe que o enunciado da questão nos diz que o valor de x² + y² é igual a 13. Então:
13 + 2xy = 49
2xy = 49 - 13
2xy = 36
xy = 36/2
xy = 18
Descobrimos assim que o produto entre x e y é 18. Agora, aplicaremos os resultados obtidos na terceira equação. Para isto, observe que a forma fatorada de x³ + y³ é (x + y)(x² - xy + y²). Então:
x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²)
Podemos remanejar a equação e deixá-la da seguinte maneira:
x³ + y³ = (x + y)(x² + y² - xy)
Agora observe que já temos o valor de x + y, que é 7, o valor de x² + y², que é 13, e o valor de xy, que é 18. Logo:
x³ + y³ = 7 (13 - 18)
x³ + y³ = 7 × (-5)
x³ + y³ = -35
Assim, descobrimos que o valor de x³ + y³ é -35.
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