Question

Não sei resolver a letra e

Answer 1

$a^{4}+1=(a^{2})^{2}+1^{2}\\a^{4}+1=(a^{2})^{2}+(2a^{2}-2a^{2})+1^{2}\\a^{4}+1=(a^{2}+2a^{2}+1^{2})-2a^{2}\\a^{4}+1=[(a^{2})^{2}+2*a^{2}*1+1^{2}]-2a^{2}\\a^{4}+1=(a^{2}+1)^{2}-2a^{2}\\a^{4}+1=(a^{2}+1)^{2}-\sqrt{2}^{2}a^{2}\\a^{4}+1=(a^{2}+1)^{2}-(a\sqrt{2})^{2}$

Veja que esse é o resultado de um produto da soma pela diferença de dois termos:

$x^{2}-y^{2}\rightleftharpoons (x+y)(x-y)$

$\boxed{\boxed{a^{4}+1=(a^{2}+1+a\sqrt{2})(a^{2}+1-a\sqrt{2})}}$
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Produto da soma pela diferença de 2 termos:

$(x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}$

Logo, $x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)$

No exercício, temos $(a+1)^{2}-(a\sqrt{2})^{2}$

Essa é uma diferença de quadrados, onde x = a² + 1 e y = a√2

Substituindo em x² - y² = (x + y)(x - y), teremos:

$x^{y}-y^{2}=(x+y)(x-y)\\(a^{2}+1)^{2}-(a\sqrt{2})^{2}=(a^{2}+1+a\sqrt{2})(a^{2}+1-a\sqrt{2})$

Se quiser testar, resolva (a² + 1 + a√2)(a² + 1 - a√2). Chegará em a⁴ + 1