Question

não sei muito bem como explicar a minha pergunta mas, num exercício apareceu a expressão 7 + 4 √3 e a resolução simplificou para o produto notável (2 + √3)²
Como eu posso fazer essa "volta" do produto notável resolvido para como ele estava na forma com o expoente?

Answer 1

Não existe um método totalmente mecânico de fazer isso. Você tem que pensar sempre que $(p + q)^2 = p^2 + 2pq + q^2$ e tentar encaixar o que você tem no produto notável.

Neste caso, vamos pensar sobre o $7 + 4\sqrt{3}$. Perceba que essa expressão tem uma raiz quadrada. Isso indica que p ou q tem raiz quadrada. Isso também quer dizer que $4\sqrt3 = 2pq$, pois a raiz quadrada tem que sumir em $p^2$ e $q^2$.

Então sabemos que $pq = 2\sqrt3$. A outra coisa que sabemos é que $p^2 + q^2 = 7$. Então quaisquer p e q que satisfaçam o sistema

$\left \{ {{pq = 2\sqrt3} \atop {p^2 + q^2 = 7}} \right.$

Podem ser usados para formar o produto notável. Neste caso, fica bem simples ver que se

$p = 2,\quad p^2 = 4\\q = \sqrt3,\quad q^2 = 3\\\\ pq = 2\sqrt3\\p^2 + q^2 = 7$

Mas em outras situações isso pode não ser tão simples de perceber.

Em outras palavras, isso é um problema com uma resolução mais intuitiva do que prática.