Question

Não pode usar L'HOSPITAL NA RESOLUCAO

Answer 1

Sabemos que:

$f(x) = \left \{ {{\frac{x^2-16}{x-4}, \hspace {1mm} se \hspace {1mm} x \ne -1} \atop {3, \hspace {1mm} se \hspace {1mm} x=-1}} \right.$

Ou seja, a função f(x) está definida em todos os pontos, exceto quando x = -1, pois neste ponto f(-1) = 3. Então, para analisarmos a continuidade da função neste ponto, precisamos calcular os limites laterais no ponto.

Usaremos a seguinte propriedade: $a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$

Primeiro, tomaremos o limite pela direita (um número ligeiramente maior que -1, usaremos -0,99999):

$\lim_{x \to -1^+} \frac{x^2-16}{x-4} \\\\= \lim_{x \to -1^+} \frac{(x+4)(x-4)}{x-4} \\\\= \lim_{x \to -1^+} x+4 \\\\= -0,99999 + 4 \\\\= 3,00001$

Agora, fazendo o limite pela esquerda (um número ligeiramente menor que -1, usaremos -1,00001):

$\lim_{x \to -1^-} \frac{x^2-16}{x-4} \\\\= \lim_{x \to -1^-} \frac{(x+4)(x-4)}{x-4} \\\\= \lim_{x \to -1^-} x+4 \\\\= -1,00001 + 4 \\\\= 2,99999$

Podemos notar que os limites laterais tendem ao mesmo ponto f(-1) = 3, e, quanto mais casas decimais forem utilizadas, melhor será esta aproximação. Assim, podemos concluir que a função é contínua em x = -1 tendo valor f(-1) = 3. Observe o gráfico para enxergar melhor esta afirmação.

Espero ter ajudado.

Answer 2

Olá, siga a explicação:

1. $\sf f(-1) = 3$
2. $\sf \displaystyle \lim_{x \to -1} \dfrac{-1^2 - 16}{-1-4} = \lim_{x \to 3} \dfrac{-1 - 16}{-1-4} = \lim_{x \to 3} \dfrac{-17}{-5} = 3,4$
3.  $\sf f(x) \cong \displaystyle \lim_{x \to 3} f(x)$

Logo é contínua.

• Att. MatiasHP