Question

não faço ideia de como resolver esse limite

Answer 1

Temos o seguinte limite:

$\lim_{x\to-3} \left[ \frac{1}{x + 3} + \frac{x + 8}{x {}^{2} + x - 6 } \right]$

Vamos iniciar aplicando MMC, para não ter que fazer aquele processo de dividir pelo de baixo e multiplicar pelo de cima, vamos usar essa relação que tem a mesma significância do MMC:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a.d \pm b.c}{b.d} }$

Esse sinal de ± só quer dizer que pode ser uma soma de frações ou então uma subtração. Agora que sabemos, vamos aplicar na função do limite:

$\lim_{x\to-3} \left[ \frac{1.(x {}^{2} + x - 6) + (x + 3).(x + 8)}{(x + 3).(x {}^{2} + x - 6) } \right]$

Agora vamos desenvolver essas expressões:

$\lim_{x\to-3} \left[ \frac{1.(x {}^{2} + x - 6) + (x + 3).(x + 8)}{(x + 3).(x {}^{2} + x - 6) } \right] \\ \\ \lim_{x\to-3} \left[ \frac{(x {}^{2} + x - 6) + x {}^{2} + 11x + 24 }{(x + 3).(x {}^{2} + x - 6) } \right] \: \: \: \: \: \\ \\ \lim_{x\to-3} \left[ \frac{2x {}^{2} + 12x + 18 }{(x + 3).(x {}^{2} + x - 6) } \right] \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Agora podemos fazer a fatoração da expressão do numerador, pois provavelmente será um resultado que podemos (cortar) com algum elemento do denominador e com isso vamos sumir com a indeterminação 0/0. Para fazer essa fatoração basta iniciar calculando as raízes:

$2x {}^{2} + 12x + 18 = 0 \to (x_{1} = - 3 = \: \: e \: \: x_{2} = - 3$

Para encontrar a forma fatorada, basta lembrar que uma equação do segundo grau pode ser escrita reduzidamente como:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{a.(x - x_{1}).(x - x_{2} )}$

Sendo esse "a" o termo que multiplica x² e x1 e x2 as raízes da função . Fatorando temos que:

$a.(x - x_{1} ).(x - x_{2} ) = 2.(x - ( - 3)).(x -( - 3)) \\ 2.(x + 3).(x + 3) = \boxed{2.(x + 3){}^{2} }$

Portanto essa é a forma fatorada, então vamos substituí-la no local da anterior:

$\lim_{x\to-3} \left[ \frac{2.(x {} + 3)^{2} }{(x + 3).(x {}^{2} + x - 6)} \right]$

Vamos fatorar também aquela expressão quadrática do denominador. (A chave da resolução de limites é sempre fatorar, independentemente se a fatoração vai ser ultil ou não no cálculo). Fatorando temos:

$x {}^{2} + x - 6 = 0 \to (x_{1} = 2 \: \: e \: \: x_{2} = - 3) \\ a.(x - x_{1}).(x - x_{2}) = 1.(x - 2).(x - ( - 3)) \\ \boxed{(x - 2) .(x + 3)}$

Substituindo a forma fatorada na anterior:

$\lim_{x\to-3} \left[ \frac{2.(x + 3) {}^{2} }{(x + 3).(x - 2).(x + 3)} \right] \\ \\ \lim_{x\to-3} \left[ \frac{2.(x + 3) {}^{2} }{(x - 2).(x + 3) {}^{2} } \right] \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Agora que temos dois termos iguais, um no numerador e outro no denominador, pode cancelá-los, já que trata-se uma multiplicação:

$\lim_{x\to-3} \left[ \frac{2. \cancel{(x + 3) {}^{2} }}{(x - 2). \cancel{(x + 3) {}^{2} } }\right] \\ \\ \lim_{x\to-3} \frac{2}{x - 2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Provavelmente sumimos com a indeterminação, então podemos substituir novamente o valor a qual o "x" tende:

$\lim_{x\to-3} \left[ \frac{2}{x - 2} \right] = \frac{2}{ - 3 - 2} = \frac{2}{ - 5} = \boxed{- \frac{2}{5} }$

Portanto podemos concluir que:

$\boxed{\boxed{ \boxed{ \boxed{\lim_{x\to-3} \left[ \frac{1}{x + 3} + \frac{x + 8}{x {}^{2} + x - 6} \right] = - \frac{2}{5} } }}}$

Espero ter ajudado