Question

Nao entendi como ele concluiu que o p não é primo aparti dos expoentes de p e com base no princípio fundamental da aritmética ​

Answer 1

Teorema Fundamental da Aritmética

Obs: leia a solução pelo navegador!

   O Teorema ratifica que todos os números inteiros maiores do que 1 podem ser decompostos em um produto de números primos, tal decomposição é única (as permutações dos fatores são desprezíveis).

   Em vista disso, vamos olhar para um problema simples de aplicação do Teorema e perceba que o que faremos é o mesmo que foi feito na demonstração de seu problema.

$(\alpha)\quad Prove~que~\sqrt2~\notin ~\mathbb{Q}:$

$Todo~n\'umero~racional~pode~ser~escrito~da~seguinte~forma:\dfrac{p}{q},~com~p,q\in\mathbb{Z}$

$Assuma~\sqrt{2}\in\mathbb{Q}\therefore\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}\leftrightarrow$

$\leftrightarrow\sqrt2\cdot q=p\leftrightarrow 2\cdot q^2=p^2\rightarrow absurdo\therefore\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}.$

   Note que do lado esquerdo temos um expoente ímpar para o fator 2 (primo) e do outro um expoente par. Isso torna absurda a igualdade com base no Teorema Fundamental da Aritmética, pois temos um mesmo número com duas decomposições distintas.

Obs.:

   Quando temos, a = b não temos dois números iguais ushuauhs, SÃO O MESMO NÚMERO!!    

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   Exemplo

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$6=2\cdot 4?\rightarrow 2\cdot 3=2\cdot 2\cdot 2\rightarrow 2^1\cdot 3^1=2^3\cdot 3^0\\\\logo,~6\neq2\cdot 4.$

   De um lado temos um expoente ímpar para o 3 (exp. 1) e do outro um expoente par (exp. 0)

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