Question

não custa nada tentar me ajudar se vc saber


O custo para produzir um certo produto é R$ 3,00. Se esse produto for vendido ao preço de R$ 6,00, são vendidas mensalmente, 3000 unidades do produto. O empresário, por experiência própria, vem observando o seguinte: quando aumenta o preço de R$ 1,00, vende 250 unidades mensalmente a menos. O empresário deseja saber: qual o maior preço que deverá cobrar, a fim de obter a máxima receita?

Answer 1

Resposta:

O Maior preço é R$ 9,00

Explicação passo a passo:

Primeiro vamos relacionar os preços e quantidades vendidas conforme as informações que sabemos, vamos chamar preços de "p", quantidades vendidas de "v". Sabemos que quando aumentamos o preço de venda em 1 a quantidade vendida reduz em 250 unidades, enquanto que o preço inicial (6) a quantidade vendida é 3000 unidades, ou seja:

Se $p=6$ então $v=3000$, do mesmo modo:

Se $p=7$ então $v=2750$

Sabendo disso, vamos relacionar com um valor "p" e "v" qualquer, mantendo a proporcionalidade, sendo:

$\frac{p-6}{7-6} =\frac{v-3000}{2750-3000}$

"p" menos 6 está pra 7 menos 6, assim como "v" menos 3000 está para 2750 menos 3000!!

Isolando "v" em função de "p", temos:

$(p-6).(2750-3000)=(v-3000).(7-6)$

$(p-6).(-250)=(v-3000).(1)$

$-250p+1500=v-3000$

$v=-250p+4500$

Pronto, agora vamos relacionar com o valor total recebido pelo empresário com a venda do produto, vamos chamar isso de receita "R", ora a receita nada mais é do que a multiplicação da quantidade vendida pelo preço cobrado:

$R=v.p$

Substituindo pelo "v" em função de "p" da equação anterior, temos:

$R=(-250p+4500). p$

Logo:

$R=-250p^{2} +4500p$

Essa é a equação da receita em função do preço cobrado. Nos é pedido qual o preço máximo a ser cobrado para termos uma receita máxima. Ao observar a equação percebemos que se trata de uma equação de 2º grau e como termo que multiplica a incógnita quadrada é negativo, concluímos então se tratar de um gráfico que descreve uma parábola com concavidade virada para baixo, ou seja, existe um ponto máximo da função.

Para descobrir esse ponto podemos derivar a função que nos dará o coeficiente angular de qualquer reta que tangencie e função em um ponto "p" qualquer. Logo se igualarmos esse coeficiente a zero, teremos uma reta na horizontal, sem inclinação nenhuma e sendo assim só poderá ser a reta que tangencia o ponto máximo da função, pois em qualquer outro ponto essa reta tangente terá angulação e seu coeficiente angular será diferente de zero.

Derivando a função de "R" em "p" temos:

$R=-250p^{2} +4500p$

$\frac{dR}{dp} =-500p+4500$

Igualando a zero:

$\frac{dR}{dp} =0$

$-500p+4500=0$

$p=\frac{4500}{500}$

$p=9$