Question

Não consigo resolver estas questões sobre subespaço vetorial, alguém pode me ajudar?

O enuciado diz o seguinte:

Verifique se o conjunto A é subespaço de V em cada caso abaixo.

Answer 1

Para que $\mathsf{A}$ seja subespaço vetorial de um espaço vetorial $\mathsf{V}$ sobre um corpo $\mathsf{K}$:

$\mathsf{\hookrightarrow \ 0 \ \in \ A}; \\\\\mathsf{\hookrightarrow \ \forall \ \ u, \ v \ \in \ A, \ \ u \ + \ v \ \in \ A}; \\\\\mathsf{\hookrightarrow \ \forall \ \ \alpha \ \in \ K, \ u \ \in \ A, \ \ \alpha \cdot u \ \in \ A.}$

$\mathsf{\bold{i)} \ A_1 \ = \ \{ (x,y,z) \ \in \ \mathbb{R}_3 \ \ | \ \ 2\cdot x \ + \ 3\cdot y \ - \ 6\cdot z \ = \ 12 \}; \ V \ = \ \mathbb{R}_3}$

Tomando um par ordenado qualquer $\mathsf{u \ = \ \big(x, \ y, \ \frac{x}{3} \ + \ \frac{y}{2} \ - \ 2\big)}$, percebemos que nenhuma das três propriedades é atendida (é preciso que as três sejam cumpridas):

$\mathsf{(0,0,0) \ \notin \ A_1. \ u \ + \ v \ \notin \ A_1, \ \alpha \cdot u \ \notin \ A_1}$

$\mathsf{\bold{ii)} \ A_2 \ = \ \{ (x,y,z,w) \ \in \ \mathbb{R}_4 \ \ | \ \ x \ + \ y \ = \ 0; \ z \ - \ w \ = \ 0 \}; \ V \ = \ \mathbb{R}_4}$

Tomando um par ordenado qualquer $\mathsf{u \ = \ (x_1, -x_1, z_1, z_1)}$, temos que:

$\mathsf{(0,0,0,0) \ \in \ A_2 \ (x_1 \ = \ z_1 \ = \ 0);}$

$\mathsf{\alpha \cdot u \ \in \ A_2: (\alpha \cdot x_1, \ - \alpha \cdot x_1, \ \alpha \cdot z_1, \ \alpha \cdot z_1);}$

Para $\mathsf{v \ = \ (x_2, -x_2, z_2, z_2)}$, temos que $\mathsf{u \ + \ v \ = \ (x_1 \ + \ x_2, \ - (x_1 \ + \ x_2), \ z_1 \ + \ z_2, \ z_1 \ + \ z_2) \ \in \ A_2}$, logo $\mathsf{\bold{A_2}}$ é um subespaço vetorial de $\mathsf{\bold{V}}$.

$\mathsf{\bold{iii)} \ A_3 \ = \ \{ (x,y,z,w) \ \in \ \mathbb{R}_4 \ \ | \ \ 2\cdot x \ + \ y \ - \ w \ = \ 0; \ z \ = \ 0 \}; \ V \ = \ \mathbb{R}_4}$

Tomando um par ordenado qualquer $\mathsf{u \ = \ (x_1, \ y_1, \ 0, \ 2\cdot x_1 \ + \ y_1)}$:

$\mathsf{(0,0,0,0) \ \in \ A_3 \ (x_1 \ = \ y_1 \ = \ 0);}$

$\mathsf{\alpha \cdot u \ \in \ A_3: (\alpha \cdot x_1, \ \alpha \cdot y_1, \ 0 , \ \alpha \cdot 2\cdot x_1 \ + \ \alpha \cdot y_1);}$

Para $\mathsf{v \ = \ (x_2, \ y_2, \ 0, \ 2\cdot x_2 \ + \ y_2)}$, temos que $\mathsf{u \ + \ v \ = \ (x_1 \ + \ x_2, \ y_1 \ + \ y_2, \ 0, \ 2\cdot (x_1 \ + \ x_2) \ + \ y_1 \ + \ y_2) \ \in \ A_3}$, portanto  $\mathsf{\bold{A_3}}$ é um subespaço vetorial de $\mathsf{\bold{V}}$.