Question

Não consigo chegar na resposta, que dá 156

Answer 1

i) O polígono tem n lados e n ângulos. Como ele somou n-1 ângulos temos que ficou um ângulo de fora, que iremos chamar α. Temos o seguinte:

$S_{n-1}=2004^{\mathrm{o}} \\ \\ S_{n}=2004+\alpha \\ \\ \mathrm{Por \ outro \ lado, \ pela \ f\'{o}rmula \ da \ soma \ dos \ internos} \\ \\ S_{n}=180(n-2)\Rightarrow S_{n}=180n-360^{\mathrm{o}}$

Agora que temos duas expressões para a soma dos ângulos internos vamos igualá-las:

$2004+\alpha=180n-360 \Rightarrow \boxed{180n-2364=\alpha}$

ii) Como n representa o número de lados de um polígono temos que n só pode ser um número inteiro. E como o polígono é convexo temos que todos os seus lados são menores que 180° e maiores que 0, isso também vale para α, portanto, 0<α<180. Vamos, então, atribuir valores para n a fim de encontrarmos um valor para α naquele intervalo de valores:

a) n=13
$180.13-2364=\alpha\Rightarrow \alpha=2340-2364<0 \ (\mathrm{FALSO})$

b) n=14
$180.14-2364=\alpha\Rightarrow \alpha=2520-2364 \Rightarrow \boxed{\alpha=156^{\mathrm{o}}} \ (\mathrm{OK})$

c) n=15
$180.15-2364=\alpha\Rightarrow \alpha=2700-2364\Rightarrow \alpha=336^{\mathrm{o}} \ (N\~{A}O \ PODE)$

Portanto nossa única alternativa é que o polígono tenha 14 lados.

R: n=14