Question

Não consigo calcular o lim da raiz quadrada de x^2-2/x-raiz quadrada de 2. Quando x-> raiz quadrada de 2+(pelo lado direito).
Ajudem-me, pleeeease!

Answer 1

Olá!

    Temos:

    $\lim_{x \to \sqrt{2}^+} \dfrac{\sqrt{x^2-2}}{x-\sqrt{2}}= \lim_{x \to \sqrt{2}^+}\left( \dfrac{\sqrt{x^2-2}}{\sqrt{(x-\sqrt{2})^2}} \right)= \\ \\ \\ = \lim_{x \to \sqrt{2}^+} \left( \sqrt{\dfrac{x^2-2}{(x-\sqrt{2})^2}} \; \right)= \\ \\ \\ \lim_{x \to \sqrt{2}^+} \left( \sqrt{\dfrac{(x-\sqrt{2}) \cdot (x+\sqrt{2})}{(x-\sqrt{2}) \cdot (x-\sqrt{2})}}\; \right)= \lim_{x \to \sqrt{2}^+} \left( \sqrt{\dfrac{x+\sqrt{2}} {x-\sqrt{2}}}\; \right)$

    Agora vamos fazer uma mudança de variável. 
    Seja     $u=x-\sqrt{2}$. Daí, quando x tende à raiz de 2 pela direita, u tenderá a zero pela direita. E também, 

    $u=x-\sqrt{2} \Rightarrow x=u+\sqrt{2}$.

    Segue que:

    $\lim_{x \to \sqrt{2}^+} \left( \sqrt{\dfrac{x+\sqrt{2}} {x-\sqrt{2}}}\; \right)= \lim_{u \to 0^+} \sqrt{\dfrac{(u+\sqrt{2})+\sqrt{2}}{u}} = \\ \\ \\ = \lim_{u \to 0^+} \dfrac{u+2\sqrt{2}}{u}=\lim_{u \to 0^+}\left( 1+\dfrac{2\sqrt{2}} {u} \right)$

    Note que a fração   $\dfrac{2\sqrt{2}}{u}$   tem numerador constante e positivo, e o denominador tende a zero por valores positivos (à direita de zero). Há um Teorema que garante que quando isso ocorre, o limite desta fração explode para infinito (positivo se a fração tende a zero por valores positivos, e negativo se isso ocorre por valores negativos).

    Portanto, 

    $\lim_{u \to 0^+}\left( 1+\dfrac{2\sqrt{2}} {u} \right)=1+ (+ \infty)=+ \infty$


Bons estudos!