Question

Não consegui resolver este exercício de cilindros , socorro!

Answer 1

Como mostrado na imagem, tudo que está tracejado em vermelho tem medida "L". Em azul você tem a altura da parte de cima do octaedro, e em verde você tem a diagonal do quadrado de aresta "L" Montei o triângulo pra você ver, ele tem metade da diagonal, a aresta L e a altura da parte de cima, resolvendo a conta você encontra:

$(\frac{l\sqrt{2}}{2})^2 + h^2 = l^2 \\ \\ \frac{2l^2}{4} + h^2 = l^2 \\ \\ h^2 = l^2 - \frac{^2}{2} \\ \\ h^2 = \frac{2l^2 - l^2}{2} \\ \\ h = \sqrt{ \frac{l^2}{2} } = \frac{\sqrt{l^2}}{\sqrt{2}} = \frac{l}{\sqrt{2}}. \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{l\sqrt{2}}{2}$

Como considerei "h" sendo somente a altura da parte de cima, então temos que dobrá-la para termos a altura do prisma inteiro, então a altura do octaedro e também do cilindro é:

$H = l\sqrt{2}$

Você pode ver na imagem também que o raio da circunferência é metade da diagonal do quadrado de aresta "L". Então a área da circunferência é:

$A_b = \pi.r^2 \\ \\ A_b = \pi. (\frac{l\sqrt{2}}{2})^2 \\ \\ A_b = \pi. \frac{2l^2}{4} \\ \\ A_b = \frac{\pi l^2}{2}$

Temos a altura "H" e a área da base "Ab", então o volume do cilindro será:

$V = A_b.H \\ \\ V = \frac{\pi l^2}{2}. l\sqrt{2} \\ \\ V = \frac{\pi l^3 \sqrt{2}}{2}$

A área total, como você sabe, é a área lateral e duas vezes a área da base (circunferência em cima do prisma e embaixo do prisma):

Acho que você deve lembrar das fórmulas, não vou enrolar muito:

$A_t = 2.A_b + A_l \\ A_t = 2. \pi. r^2 + 2 \pi r. H \\ \\ A_t = 2. \pi. (\frac{l\sqrt{2}}{2})^2 + 2 \pi \frac{l\sqrt{2}}{2}.l\sqrt{2} \\ \\ A_t = 2 \pi [(\frac{l\sqrt{2}}{2})^2 + \frac{l\sqrt{2}}{2}.l\sqrt{2}] \\ \\ A_t = 2\pi( \frac{l^2}{2} + \frac{l^2.2}{2}) \\ \\ A_t = 2\pi ( \frac{l^2}{2} + l^2) \\ \\ A_t = 2 \pi (\frac{3l^2 }{2} ) \\ \\ A_t = 3 \pi l^2$