Na unidade 3, aprendemos a calcular a probabilidade de sobrevivência e a probabilidade de falecimento entre as idades x e x+1. Posteriormente, na unidade 4, aprendemos a calcular a probabilidade de sobrevivência e a probabilidade de falecimento entre as idades x e x+n.
Prove que p subscript x plus q subscript x equals 1, ou seja, a probabilidade de sobrevivência adicionada à probabilidade de morte na idade x é sempre igual a um:
Soluções para a tarefa
Posto que uma pessoa tem que viver ou morrer durante um ano dado, e não é possível que faça ambas as coisas, a soma destas duas probabilidades que se excluem mutuamente deve ser igual a 1.
A probabilidade de viver um ano, à idade de 11 anos, é igual a 0,992484, enquanto que a probabilidade de morrer durante o ano é igual a 0,007516. É fácil ver que a soma destes dois números é 1. Posto que 0,992484 = p 10 e 0,007516 = q 10, podemos dizer que p 10 + q 10 = 1. É fácil ver na tábua que a soma de um dado qualquer da coluna px e do correspondente dado da coluna qx é igual a 1. Logo, podemos expressar esta relação constante em termos gerais como segue:
px + qx = 1
Desta equação se derivam por transposição as seguintes:
px = 1 - qx
qx = 1 - px
Vamos efetuar uma demonstração teórica.
Se px = (1x + 1)/1x e qx = (1x -1x+ 1)/1x
Temos então: px + qx = ((1x + 1)/1x) +((1x -1x+ 1)/1x)
Logo: px + qx = 1x + 1+ 1x -1x+ 1/1X
Logo: px + qx = 1x/1x
e portanto px + qx = 1