Question

Na teoria das probabilidades e estatística, a distribuição binomial é a distribuição de probabilidade discreta do número de sucessos numa sequência de n tentativas, tais que, cada tentativa tem exclusivamente como resultado duas possibilidades, sucesso ou fracasso (binomial, a que se chama de tentativa de Bernoulli), e cada tentativa é independente das demais, e a probabilidade de sucesso a cada tentativa p permanece constante independente das demais. A variável de interesse ou pretendida é o número de sucessos k nas tentativas. Se considerarmos o exemplo de uma indústria que possui 4 tanques independentes que coletam água de 4 linhas de produção independentes, a fim de tratá-las para posterior uso e retorno ao ambiente de trabalho e após o tratamento é retirado de cada tanque uma amostra para análise de contaminação da água. Qual a probabilidade de dois tanques estarem com a água em condições adequadas de retorno ao ambiente de trabalho?
A)25,0 %
B)6,25 %
C)50,0 %
D)37,5 %
E)68,75 %

Answer 1

A questão está incompleta. Eis o por quê. 

A função massa de probabilidade da distribuição binomial é 

$P_k (X = k)=\binom{n}{k}p^k (1-p)^{n-k}$

onde n = número de experimentos - no caso, n = 4 tanques, k é o número de sucessos, que, segundo o enunciado, é igual a 2 (dois tanques em condições adequadas), e p é a probabilidade de sucesso, no caso, a probabilidade de que a água esteja em condições de retorno ao ambiente de trabalho. Note que o exercício não forneceu esse último dado. Sendo assim, o máximo que podemos fazer é substituir as informações das quais dispomos na função $P_k$:

$P_k (X = k)=\binom{n}{k}p^k (1-p)^{n-k} \\ \rightarrow P_k (X = 2) = \binom{4}{2}p^2 (1-p)^{4-2} \\ \rightarrow P_k (X = 2) = 6p^2 (1-p)^2$

Sem a probabilidade de sucesso p, não podemos avançar. Todavia, podemos supor que a probabilidade de um  dos tanques estar com a água em condições adequadas é p = 0.5, ou seja, 50%, que é um número razoável para muitos experimentos. Vejamos o resultado obtido:

$P_k (X = 2) = 6(\frac{1}{2})^2 (1-\frac{1}{2})^2 = 6 (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{2})^2 = (\frac{6}{2^4}) = 0.375 = 37.5 \%$

Portanto, se a probabilidade de um tanque fornecer água com condições adequadas fosse 0.5, então a probabilidade buscada seria de 37.5%, e a alternativa D estaria correta. No entanto, essa é apenas uma estimativa, e o valor de p pode ser menor ou maior do que 0.5. Como disse, a questão está incompleta.

Answer 2

Podemos afirmar que  a probabilidade de dois tanques estarem com a água em condições adequadas de retorno ao ambiente de trabalho, é de D)37,5 % .

• Nesse sentido, podemos ainda ressaltar que a função massa de probabilidade da distribuição binomial é composta por n (número de experimentos , no caso o número de tanques, 4), k é o número de sucessos (igual a dois tanques em condições adequadas), e p que  é a probabilidade de sucesso de que a água esteja em condições de retorno ao ambiente de trabalho.

• Podemos dizer que a probabilidade de um  dos tanques estar com a água em condições adequadas é p = 0.5, ou seja, 50%.

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