Na subtração de z1 e z2, onde. z1 = 2 + 3i z2 = 1 + 2i, temos como resultado :
A) 1
B)1-3i
C)1+ i
D)i
Soluções para a tarefa
Resposta:
Na matemática dos números complexos, a parte real e a imaginária de z não se mistura, tanto que dados z_1z
1
e z_2z
2
tais que
z_1 = a_1+b_1 iz
1
=a
1
+b
1
i
z_2 = a_2+b_2 iz
2
=a
2
+b
2
i
z_1+z_2 = a_1+b_1i+a_2+b_2i = (a_1+a_2)+(b_1+b_2)iz
1
+z
2
=a
1
+b
1
i+a
2
+b
2
i=(a
1
+a
2
)+(b
1
+b
2
)i
Somando números complexos, as partes se somam separadamente.
No entanto, a multiplicação deles pode ser um tanto confusa:
z_1\times z_2 = (a_1+b_1i)(a_2+b_2i) = a_1a_2 + a_1b_2i+a_2b_1i+b_1b_2i^2z
1
×z
2
=(a
1
+b
1
i)(a
2
+b
2
i)=a
1
a
2
+a
1
b
2
i+a
2
b
1
i+b
1
b
2
i
2
Como i = \sqrt{-1}i=
−1
por definição, então i^2 = -1i
2
=−1
z_1\times z_2 = (a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)iz
1
×z
2
=(a
1
a
2
−b
1
b
2
)+(a
1
b
2
+a
2
b
1
)i
Aplicaremos estas operações nos exercícios:
Dados z_1 = 2+3iz
1
=2+3i , z_2 = 1-2iz
2
=1−2i teremos que:
a) z_1+z_2 = (2+1)+ (3-2)i = 3+iz
1
+z
2
=(2+1)+(3−2)i=3+i
b) A subtração é análoga à soma, mas consideremos z_1+z_2'z
1
+z
2
′
com z_2' = -z_2 = -a_2-b_2iz
2
′
=−z
2
=−a
2
−b
2
i
z_1-z_2 = (2-1)+(3-(-2))i = 1+5iz
1
−z
2
=(2−1)+(3−(−2))i=1+5i
c) Quando multiplicamos por um escalar k não é difícil mostra que
k\times z = k\times(a+bi) = ka+kbik×z=k×(a+bi)=ka+kbi
2z_1+z_2 = (2\times2+1)+(2\times3-2)i = 5+4i2z
1
+z
2
=(2×2+1)+(2×3−2)i=5+4i
d) z_1\times z_2 = (2*1-3*(-2))+(2*(-2)+1*3)i = (2+6)+(-4+3)i = 8-iz
1
×z
2
=(2∗1−3∗(−2))+(2∗(−2)+1∗3)i=(2+6)+(−4+3)i=8−i