Question

na sequencia definida pelo termo geral an= raiz cúbica de n-1, com 1<=n<=65, quantos são os númmeros racionais?

Answer 1

Considere a seguinte sequência numérica

$a_{n}=\,^{3}\!\!\!\sqrt{n-1}\,,\;\;\;\;\;\text{com }n=1,\;2,\;\ldots,\;65$


Determinar quantos termos da sequência são números racionais.

$\bullet\;\;$ O problema consiste em determinar para quais valores de $n$ o radicando (expressão "dentro da raiz cúbica") é um cubo perfeito:

$n-1=k^{3}\,,\;\;\;\;\text{para algum }k\text{ natural}.$


Como a sequência é crescente, o primeiro termo é o menor e o último termo é o maior.

O primeiro termo da sequência é 

$a_{1}=\,^{3}\!\!\!\sqrt{1-1}\\ \\ =\,^{3}\!\!\!\sqrt{0}\\ \\ =0$

O último termo da sequência é

$a_{65}=\,^{3}\!\!\!\sqrt{65-1}\\ \\ =\,^{3}\!\!\!\sqrt{64}\\ \\ =4$


Logo, devemos procurar $n$ tal que

$n-1=k^{3}\,,\;\;\;\;\text{com }k=0,\;1,\;2,\;3,\;4$

isto é, temos $5$ (cinco) termos racionais na sequência.

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A saber,

$a_{1}=0\\ \\ a_{2}=1\\ \\ a_{9}=2\\ \\ a_{28}=3\\ \\ a_{65}=4$