Question

Na sequência de termos positivos 12,x,y,2, os três primeiros termos estão em pa e os três últimos em pg. Os termos x e y valem, respectivamente:

Answer 1

Do enunciado do problema podemos escrever:

$x=\frac{12+y}{2}\rightarrow 2x=12+y \\ \\ \frac{x}{12}=\frac{2}{y}\rightarrow2x=y^2$

Destas equações temos:

$y^2=y+12 \rightarrow y^2-y-12=0$

As raizes desta equação são -3 e 4

Verificando:

12, x, 4, 2 -> x=8

Observe que y = -3 não atende as condições

Logo x= 8 e y = 4

Answer 2

PROGRESSÕES
Média Aritmética e Geométrica

(12,x,y,2)

O problema nos diz que os três primeiros termos estão em P.A.

(12,x,y)

E os três últimos em P.G.

(x,y,2)

Aplicando a média aritmética,

($a,b,c$ .:. $b= \frac{a+c}{2}$)

nos três primeiros e a média geométrica

$a,b,c$ .:. $b ^{2}=a*c$

nos três últimos, temos:

$x= \frac{12+y}{2}$  e  $y ^{2}=2*x$

substituindo x da P.A. na P.G., vem:

$y^{2}=2( \frac{12+y}{2})$

$2* y^{2}=2(12+y)$

$2 y^{2}=24+2y$

$2 y^{2} -2y-24=0$

dividindo a equação por 2 temos:

$y^{2}-y-12=0$

Resolvendo esta equação do 2° grau obtemos as raízes y'=4 e y"= -3

Onde só nos serve a 1a raiz.

Substituindo, temos:

(12,x,y,2)

$x= \frac{12+y}{2}$

$x= \frac{12+4}{2}$

$x= \frac{16}{2}$

$x=8$


Resposta: x vale 8 e y vale 4 .