Question

Na sequência de quadrados representada nas figuras a seguir, cada novo quadrado tem seus vértices nos pontos médios do quadrado que o antecede.
Se o perímetro do primeiro quadrado é P, e supondo-se que essa sequência continue indefinidamente, calcule a soma das áreas dos infinitos quadrados.

(A) P2/4.
(B) P2/9.
(C) P2/32.
(D) P2/16.
(E) P2/8.

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A questão envolve PG e a resposta, segundo o gabarito que pode estar errado, é a letra D. Pode explicar como se chega nessa resposta? Obrigado!​

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Update: Eu encontrei a letra E. Cada novo quadrado tem metade da área do anterior, então, encontrei P^2/8 pela soma dos elementos de uma PG infinita. Isso está correto?

Answer 1

Resposta:

Sn= (P^2)/8 (opção E)

Explicação passo-a-passo:

Sendo o perímetro do 1o. Quadrado = P, então seu lado vale P/4, e sua área (P/4)^2 = (P^2)/16

Para o 2o. Quadrado, seu lado vale raiz(2).(P/4)/2 = P. raiz(2)/8, e sua área (P .raiz(2)/8)^2 = (P^2).2/64 = (P^2)/32

Para o 3o. Quadrado, seu lado vale raiz(2).(P.raiz(2)/8) /2 = P. 2/16 = P/8, e sua área (P/8)^2 = (P^2)/64

Dessa forma, a sequência de áreas dos quadrados é dada pela PG:

(P^2)/16, (P^2)/32, (P^2)/64,...

onde:

a1= (P^2)/16

q= 1/2 (razão)

Logo, a PG é decrescente e convergente, e pode ser aplicado a fórmula da soma dos infinitos termos, dado por:

Sn= a1/(1 - q)

Sn= [(P^2)/16]/ [1 - (1/2)]

Sn= [(P^2)/16]/ [(2 - 1)/2]

Sn= [(P^2)/16]/ (1/2)

Sn= [(P^2)/16] . 2

Sn= (P^2)/8

Blz?

Abs :)