Question

na sequência de figuras a seguir todos os quadriláteros são quadrados. o lado do primeiro quadrado sombreado mede 4cm, e cada quadrado sombreado a partir da segunda figura foi obtido unindo-se os pontos medios dos lados opostos de cada quadrado sombreado da figura anterior. Qual a soma das areas dos quadrados sombreados nas infinitas figuras

Answer 1

A soma das áreas dos quadrados sombreados nas infinitas figuras será 64/3 cm².

Da sequência de figuras, vemos que:

• O primeiro quadrado está completamente sombreado e tem lado 4 cm;
• O segundo quadrado foi dividido em 4 e apenas uma parte está sombreada, logo, essa área é 1/4 do original;
• O quadradinho sombreado anterior foi dividido em 4 e apenas uma parte foi sombreada, novamente, essa área é 1/4 da anterior;

Isso acontece sucessivamente, logo, para o n-ésimo quadrado, a área sombreada será dada por:

A = 4².(1/4)ⁿ⁻¹

Isso forma uma progressão geométrica de razão 1/4 e primeiro termo igual a 4², para somar as áreas as infinitas figuras, devemos calcular a soma dos termos de uma PG infinita, dada por:

S = a1/(1 - q)

S = 4²/(1 - 1/4)

S = 16/(3/4)

S = 64/3 cm²