Question

Na sequência 1234 5678 91011 1213 qual algarismo ocupar a posição 2016

Answer 1

Observe o seguinte. Para escrever todos os naturais em sequência

     •  de  1  até  9  são necessários

        $\mathsf{9~algarismos.}$


     •  de  10  até  99  são necessários

        $\mathsf{2\cdot (99-10+1)}\\\\ =\mathsf{2\cdot 90}\\\\ =\mathsf{180~algarismos.}$


     •  de  100  até  999  são necessários

        $\mathsf{3\cdot (999-100+1)}\\\\ =\mathsf{3\cdot 900}\\\\ =\mathsf{2700~algarismos.}$


Note que para escrever os naturais de  1  até  99,  são usados

     $\mathsf{9+180=189~algarismos}$


mas para escrever de  1  até  999,  são usados

     $\mathsf{9+180+2700=2889~algarismos}$

que já ultrapassa  2016  algarismos.


Portanto, o algarismo de posição  2016  será escrito para algum número natural entre  100  e  999,  ou seja, um número de  3  dígitos.

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Ao escrever de  1  até  99,  são usados  189  algarismos, restando

     $\mathsf{2016-189=1827}$

algarismos a serem escritos.


Quantos números de  3  algarismos podem ser escritos com  1827  algarismos?

     $\mathsf{609\cdot 3=1827}$


Como  1827  é múltiplo de  3,  ainda serão escritos por completo mais  609  números de  3  algarismos, começando do  100.

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Seja  x  o último número que será escrito. Podemos então escrever a seguinte sequência:

     (100, 101, 102, ... , x − 1, x)


A sequência acima tem  609  termos. Qual é o  609º  número natural que aparece nessa sequência, começando do  100?

     $\mathsf{x-100+1=609}\\\\ \mathsf{x=609+100-1}\\\\ \mathsf{x=708}$


O último número a ser escrito é o  708,  e este é escrito por completo. Logo, o algarismo que ocupa a posição  2016  é  8.


Resposta:  8.


Bons estudos! :-)