Question

Na produção diária de certa quantidade de alimento ( em toneladas ) uma determinada empresa tem seu custo calculado pela seguinte expressão; f ( x ) = x²- 8x + 18, onde f ( x ) é o custo e x é a quantidade de alimento em toneladas. Quantas toneladas diárias de alimento a empresa precisa produzir para que o custo seja o menor possível?

Answer 1

f(x) = x^2 - 8x + 18

Bom, a função é uma função quadrática, ou seja, ela tem o gráfico na forma de parábola, sendo assim, vamos analisar como ela vai ficar

a > 0 portanto, concavidade para cima, sabendo disso, temos um vértice que nesse caso é o ponto mínimo da função, ou seja,

y = x^2 - 8x + 18

y vai ter um valor mínimo e é isso que ele pede, o menor custo possível, então temos que achar o y do vértice que no caso é calculado por -Δ/4a

-Δ = -(b^2 - 4ac) = -(64 - 72) = -(-8) = 8

8/4a = 8/4.1 = 8/4 = 2

Então, vamos substituir esse 2 na fórmula agora

2 = x^2 - 8x + 18
x^2 - 8x + 16 = 0

Δ = b^2  - 4.a.c 
Δ = -8^2 - 4 . 1 . 16 
Δ = 64 - 4. 1 . 16 
Δ = 0

Há 1 raiz real.

Neste caso, x' = x'':

x = (-b +- √Δ)/2a

x' = (--8 + √0)/2.1   
x'' = (--8 - √0)/2.1

x' = 8 / 2   
x'' = 8 / 2

x' = 4   
x'' = 4

Ele precisa produzir 4 toneladas.

Outro racicíonio possível:

É achar o x do vértice que a resposta vem direta.

x do vértice = -b/2a

-b/2a = -(-8)/2.1 = 8/2 = 4

Answer 2

Para cálculo de mínimos usamos X vértice . 

Xv = - b/2a  



x² - 8x + 18 

a = 1 

b = - 8 

c = 18 

Xv = - b/2a 

Xv = - (- 8)/2.1 

Xv = 8/2 

Xv = 4   Toneladas.                                              ok