Question

na PG (a1, a2, a3, ...), em que a10 = raiz de 3 + 1 e a11 = 2, calcule a razão q e os termos a9 e a12.

Answer 1

an = a1·q^(n-1)

a10 = a1·q^9 = √3 + 1
a11 = a1·q^10 = 2

Resolvendo o sistema:

a1 = (√3+1)·1/q^9
a1 = 2/q^10

(√3+1)·1/q^9 = 2/q^10
√3+1 = 2·q^9/q^10
√3+1 = 2/q
q = 2·1/(√3+1) ·(√3-1)/(√3-1)
q = 2·(√3-1)/(√3²-1²)
q = 2·(√3-1)/2
q = √3 -1

a1 = 2/(√3-1)^10
a1 = 2·1/11584-6688√3)
a1 = 1/(5792-3344√3)

Logo, termo geral da PG será:
an = (√3-1)^(n-1)/(5792-3344√3)

então:

a9 = (√3-1)^8·1/(5792-3344√3)
a9 = (1552 -896√3)·1/(5792-3344√3)

a12 = (√3-1)^11·1/(5792-3344√3)
(18272√3-31648)·1/(5792-3344√3)