Question

Na PA (a1, a2, ..., an), sabe-se que a3+a11=8 e que a9+a21=16. Dessa forma, concluímos que seu primeiro termo equivale a: 0.
0,5.
1.
1,5.
2.

Answer 1

O primeiro termo dessa P.A. é 1.

O termo geral de uma P.A é dado pela fórmula $a_n=a_1+(n-1) \cdot r$ onde $a_n$ é o enésimo termo, $a_1$ o primeiro termo, $n$ a quantidade de termos e $r$ a razão da P.A. Nessa questão, foram mencionados os termos $a_3;a_{11};a_9$ e $a_{21}$.

Escrevendo esses termos em função do termo geral, temos:

$a_3 = a1 + (3-1)\cdot r \rightarrow a_3 = a1 + 2r\\\\a_{11} = a1 + (11-1) \cdot r \rightarrow a_{11} = a1 + 10r\\\\a_9 = a_1 + (9-1) \cdot r \rightarrow a_9 = a_1 + 8r\\\\a_{21} = a_1 + (21-1) \cdot r \rightarrow a_{21} = a_1+20r$

Pelo enunciado, sabemos que $a_3+a{11}=8$ e $a_9+a_{21}=16$. Substituindo pela nova forma encontrada acima, temos: $a_1+2r+a_1+10r=8$ e $a_1+8r+a_{1} +20r=16$, ou seja, um sistema de equações:

$2a_1+12r = 8\\2a_1+28r=16$

Multiplicando toda a primeira equação por -1, e somando-as, obtemos:

$-2a_1-12r=-8\\ 2a_1+28r=16 \rightarrow 16r=8\\\\\\r = \frac{8}{16} \\\\r = 0,5$

Por fim, substituindo o valor de r na primeira equação:

$2a_1+12 \cdot 0,5=8\\\\2a_1 + 6 = 8\\\\2a_1 = 8-6\\\\2a_1 = 2\\\\a_1 = \frac{2}{2} \\\\a_1 = 1$

Portanto, o primeiro termo dessa P.A. é 1.