Question

Na P. G. estritamente crescente (a1, a2, a3, …) tem-se a1 + a6 = 1025 e a3 . a4 = 1024. Determine a razão da progressão geométrica. QUERO UMA RESPOSTA COMPLETA E BEM FEITA, POR FAVOR.

Answer 1

Este exercício é principalmente um problema de lógica

Veja que numa Progressão Geométrica, como sabe:

a1 . a6 = a2 . a5 = a3 . a4

como a3 . a4 = 1024 ....então a1 . a6 = 1024 <---- 1ª conclusão

também sabemos que

a1 + a6 = 1025

Logo já temos as 2 equações do "nosso" sistema

E1 --> a1 + a6 = 1025 <-------(equação dada)

E2---> a1 . a6 = 1024 <--------(equação obtida) ...ou a1 = 1024/a6

substituindo em E1 o valor de a1 ..por "1024/a6" (de E2) teremos:

1024/a6 + a6 = 1025 .....tudo bem até aqui ???

continuando.. o mmc = a6

1024 + (a6)² = 1025.(a6)

(a6)² - 1025(a6) + 1024 = 0

pela formula resolvente obtemos 2 raízes x1 = 1 e x2 = 1024

...isto implica que a6 = 1 ..."OU" a6 = 1024

Recorde o desenvolvimento acima que a1 = 1024/a6

assim

-----> se a6 = 1 --> implica que a1 = 1024/1 = 1024

-----> se a6 = 1024 --> implica que a1 = 1024/1024 = 1

(como ela é estritamente crescente só vamos considerar a1 =1 e a6 = 1024)

podemos agora passar ao cálculo da razão:

a6 = a1 . r^5 ...ou a6/a1 = r^5

como a6 = 1024 e a1 = 1, então

1024/1 = r^5

1024 = r^5

1024^(1/5) = r

4 = r <------- Razão da progressão

(ufa .....chegou ao fim bem explicadinho...)

Espero ter ajudado

Answer 2

a1 + a6 = 1025
====================
               5                       5                           5 
a6 = a1.q    ⇔  a1 + a1.q    = 1025 ⇔  a1 q   = 1025 - a1 (para usarmos depois)
==============================================================
a3 = a1.q²                                       a4 = a1.q³
==============================================================
a3 . a4 = 1024
a1.q².a1q³ = 1024
=========================
       5  
a1.q   . a1 = 1024
a1(1025-a1) = 1024 
-a1² + 1025a1 - 1024 = 0
a1² - 1025a1 + 1024 = 0
Δ = 1046529
===========================
a1' = -1025 + √Δ
            2
a1' = 1025 + 1023
                2
a1' = 2048 / 2
a1' = 1024
------------------------------------------------
a1" = 1025 - 1023
               2
============================
a1" = 2/2
a1" = 1
//////////////////////////////////////////////////////////////
a1 = 1024     ou    a1 = 1
calculando a razão:

Se a1 for 1:
======================
                 5
1024 = 1 q
------------------------------
  5
q     =   1024
  5      5
q    = 4
cancelo os 5
q = 4
Então se a1 = 1  razão = 4
/////////////////////////////////////////////////////
Se a1 = 1024:

                  5
1 =  1024 q
================
  5        1
q   =  -------
         1024
==================
  5         1     5
q    = ( ----- )
             4
cancelo os 5

q = 1/4:
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=
SOLUÇÃO:
Se a1 = 1 razão igual a 4
(1,4,16,64,256,1024)