Matemática, perguntado por carol12103, 1 ano atrás

na p.a (3,7,11...) calcule o trigésimo termo

Soluções para a tarefa

Respondido por Usuário anônimo

A fórmula que permite identificar um termo qualquer de uma PA é:

an = a1 + r(n - 1)

Onde n é a posição do termo, r é a razão da sequência, e a1 é o primeiro termo da sequência. Substituindo os valores na fórmula, obtemos:

a30 = 3 + 4(30 - 1)
a30 = 3 + 4(29)
a30 = 3 + 116

a30 = 119

O trigésimo termo é 119.

Respondido por viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da sequência (3, 7, 11,...), tem-se:

a)progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;

b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:3

c)trigésimo termo (a₃₀): ?

d)número de termos (n): 30 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 30ª), equivalente ao número de termos.)

e)Embora não se saiba o valor do trigésimo termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 7 - 3 ⇒

r = 4 (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o trigésimo termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₃₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₃₀ = 3 + (30 - 1) . (4) ⇒

a₃₀ = 3 + (29) . (4) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₃₀ = 3 + 116 ⇒

a₃₀ = 119

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O trigésimo termo da P.A.(3, 7, 11, ...) é 119.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₃₀ = 119 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o trigésimo termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₃₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

119 = a₁ + (30 - 1) . (4) ⇒

119 = a₁ + (29) . (4) ⇒

119 = a₁ + 116 ⇒ (Passa-se 116 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

119 - 116 = a₁ ⇒

3 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 3 (Provado que a₃₀ = 119.)

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