Question

Na matriz M = (3-4), os números reais, x1, x2,
x3 e x4 formam, nessa ordem, uma progressão
geométrica crescente cujo primeiro termo é maior do
que zero. Se q é a razão dessa progressão, é correto
afirmar que o determinante da matriz M (detM)
satisfaz a dupla desigualdade​

Answer 1

É correto afirmar que o determinante da matriz M satisfaz a dupla desigualdade -q < detM < q.

A matriz M é $M=\left[\begin{array}{ccc}x_1&x_2\\x_3&x_4\end{array}\right]$ e as alternativas são:

A) 0 < detM < q

B) 0 < detM < x₁.q

C) –q < detM < q

D) x₁ < detM < x₁.q

Solução

O termo geral de uma progressão geométrica é definido por aₙ = a₁.qⁿ⁻¹.

Como a sequência (x₁, x₂, x₃, x₄) é uma progressão geométrica, então podemos dizer que (x₁, x₁.q, x₁.q², x₁.q³).

Para calcularmos o determinante de uma matriz quadrada de ordem dois, precisamos subtrair a multiplicação dos elementos da diagonal principal pela multiplicação dos elementos da diagonal secundária, ou seja:

det(M) = x₁.x₄ - x₂.x₃

det(M) = x₁.x₁.q³ - x₁.q.x₁.q²

det(M) = x₁².q³ - x₁².q³

det(M) = 0.

Como o primeiro termo é maior que zero, podemos concluir que -q < det(M) < q.

Alternativa correta: letra c).