Question

Na Matemática, uma equação Diofantina é uma equação polinomial que permite a duas ou mais variáveis assumirem apenas valores inteiros. Uma equação linear Diofantina é uma equação entre duas somas de monômios de grau zero ou um.



Informações:
(a) ax + by = c tem solução se e somente c for múltiplo do m.d.c.(a, b).
(b) se x0 e y0 é uma solução particular de ax + by = c, então x = x0 + (b/d)t e y = y0 - (a/d)t, com t um inteiro qualquer e d = mdc(a, b), são soluções de ax + by = c.



Após determinar a solução geral da seguinte equação diofantina linear, 17x + 54y = 8 , qual das alternativas a seguir, expressa corretamente essa solução?


x = 10 + 54t e y = 3 + t.


x = 10 - 54t e y = 3 - 7t.


x = 10 + 54t e y = 17t.


x = - 10 + 54t e y = 3 + 17t.


x = 10 + 54t e y = - 3 - 17t.

Answer 1

Resposta:

$x= 10 + 54t$ e $y= -3 -17t$

Explicação passo-a-passo:

Como 17 é um número primo e não é divisor de 54, d = mdc(17,54)=1. Obviamente, 8 é um múltiplo de 1. Logo, pela informação a), a equação terá solução. Agora, basta encontrar uma solução particular e usar a informação b). Veja que $(x_0,y_0)=(10,-3)$ é uma solução particular pois, substituindo na equação, temos

$17\times x_0 + 54\times y_0 = 17\times 10 + 54\times (-3) = 170 - 162 = 8$

Pela afirmação b), temos que a solução geral é

$x=x_0 + \frac{b}{d}t = 10 + \frac{54}{1}t = 10 + 54t$

$y=y_0 - \frac{a}{d}t = -3 - \frac{17}{1}t = -3 -17t$