Question

na interpolação aritmética de 11 temos 1 e 37 determine a razão da P.A.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Luska, que é bem simples.
Pede-se o valor da razão (r) para que, entre "1" e "37" sejam interpolados "11" meios aritméticos.
Note que vamos ter aqui uma PA de 13 termos, pois além dos dois extremos (1 e 37) ainda vamos interpolar mais 11 termos (logo: 2+11 = 13).

Agora vamos para o termo geral de uma PA, que é dado pela seguinte fórmula:

an = a1 + (n-1)*r

Na fórmula acima, "an" é o termo que queremos encontrar. Como queremos encontrar "r" em função do último termo (37), então substituiremos "an" por "37"; por sua vez, substituiremos "a1" por "1" (que é o 1º termo" e, finalmente, substituiremos "n" por "13", que é o número de termos da PA. Assim, fazendo essas substituições, teremos;

37 = 1 + (13-1)*4
37 = 1 + (12)*r
37 = 1 + 12r ---- passando "1" para o 1º membro, teremos;
37 - 1 = 12r
36 = 12r ---- vamos apenas inverter, ficando:
12r = 36
r = 36/12
r = 3 <--- Esta é a resposta. Este é o valor procurado da razão (r) da nossa PA.

Bem, a resposta já está dada, pois a questão só pede o valor da razão (r).
Mas, apenas por curiosidade, vamos ver qual será essa PA, com todos os seus 13 termos, incluindo os "11" termos interpolados. Veja que, para isso, basta, a partir do 1º termo (a1 = 1) irmos somando a razão (r = 3) para encontrar os demais termos.
Assim, teremos (note que os termos interpolados estão marcados com uma seta):

1; 4; 7; 10; 13; 16; 19; 22; 25; 28; 31; 34; 37
. .↑. ↑ .↑. . ↑. . ↑. . ↑. .↑. ..↑. ...↑. . .↑. . ↑. . . .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.