Question

Na integral abaixo, justifique se é possível aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Caso seja possível aplica-lo, resolva usando esse teorema. Caso contrário, resolva por meio dos procedimentos adequados para integrais impróprias:

$\mathsf{\displaystyle \int_{-2}^{1}\left(x^2- \sqrt[3]{x}+\dfrac{1}{x}\right)\cdot dx}$

Answer 1

Avaliar a integral

     $\displaystyle\int_{-2}^1\left(x^2-\sqrt[3]{x}+\frac{1}{x}\right)dx$

O intervalo de integração é $[-2,\,1],$ sendo que $x=0$ é um ponto de descontinuidade pois não está no domínio da função a ser integrada.

Dessa forma, não podemos aplicar diretamente o Teorema Fundamental do Cálculo, já que a função

     $f(x)=x^2-\sqrt[3]{x}+\dfrac{1}{x}$

é ilimitada em uma vizinhança de $x=0.$


Temos portanto uma integral imprópria, e devemos reescrevê-la de forma conveniente.


Separando a parcela da função que contém a descontinuidade podemos escrever

     $\displaystyle\int_{-2}^1\left(x^2-\sqrt[3]{x}+\frac{1}{x}\right)dx\\\\\\ =\int_{-2}^1(x^2-\sqrt[3]{x})\,dx+\int_{-2}^1\frac{1}{x}\,dx\\\\\\ =\left(\frac{x^{2+1}}{2+1}-\frac{x^{(1/3)+1}}{\frac{1}{3}+1}\right)\!\bigg|_{-2}^1+\int_{-2}^1\frac{1}{x}\,dx\\\\\\ =\left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^{4/3}}{\frac{4}{3}}\right)\!\bigg|_{-2}^1+\int_{-2}^1\frac{1}{x}\,dx\\\\\\ =\left(\frac{2^3}{3}-\frac{2^{4/3}}{\frac{4}{3}}\right)-\left(\frac{1^3}{3}-\frac{1^{4/3}}{\frac{4}{3}}\right)+\int_{-2}^1\frac{1}{x}\,dx\\\\\\ =\left(\frac{8}{3}-\frac{3}{4}\cdot 2^{4/3}\right)-\left(\frac{1}{3}-\frac{3}{4}\cdot 1^{4/3}\right)+\int_{-2}^1\frac{1}{x}\,dx$


A integral dada convergirá somente se a integral abaixo convergir:

     $\displaystyle\int_{-2}^1\frac{1}{x}\,dx$


Manipulando adequadamente a integral imprópria acima, ela fica

     $=\displaystyle\int_{-2}^0\frac{1}{x}\,dx+\int_0^1\frac{1}{x}\,dx\\\\\\ =\lim_{\varepsilon\to 0^-}\int_{-2}^\varepsilon\frac{1}{x}\,dx+\lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_\varepsilon^1\frac{1}{x}\,dx\\\\\\ =\lim_{\varepsilon\to 0^-} \ln(-x)\bigg|_{-2}^\varepsilon+\lim_{\varepsilon\to 0^+}\ln(x)\bigg|_\varepsilon^1\\\\\\ =\lim_{\varepsilon\to 0^-}\Big[\ln(-\varepsilon)-\ln(2)\Big]+\lim_{\varepsilon\to 0^+}\Big[\ln(1)-\ln(\varepsilon)\Big]\qquad\quad\mathbf{(i)}$


Para que a integral convergisse, seria necessário que ambos os limites acima fossem finitos (números reais). Porém,

     •   $\lim\limits_{\varepsilon\to 0^-}\Big[\ln(-\varepsilon)-\ln(2)\Big]=-\infty$

     •   $\lim\limits_{\varepsilon\to 0^+}\Big[\ln(1)-\ln(\varepsilon)\Big]=+\infty$


Portanto,

     $\displaystyle\int_1^2\frac{1}{x}\,dx\textsf{~~ diverge}\quad\Rightarrow\quad\displaystyle\int_1^2\left(x^2+\sqrt[3]{x}+\frac{1}{x}\right)dx\textsf{~~ diverge.}$


Bons estudos! :-)