Question

Na ilustração temos a representação de um prisma reto, cuja base é um hexágono regular.
altura mede o dobro da aresta da base e a medida da área do retângulo interno, destacado na ilustração é 36cm². Encontre a medida do volume do prisma.
Dica: há uma relação entre as medidas da diagonal maior e do lado em um hexágono regular.

Answer 1

Boa tarde

No hexágono regular a aresta da base é igual ao raio da circunferência que o circunscreve.

A altura AD é o dobro da aresta da base logo AD =2r

A diagonal maior AB = 2r

ABCD é um quadrado  →2r*2r=36⇒4r²=36 ⇒r=3

A área do hexágono é dada por :

$S_{6}= \frac{3 r^{2} \sqrt{3} }{2} \Rightarrow\ S_{6} = \frac{3* 3^{2} \sqrt{3} }{2} = \frac{27 \sqrt{3} }{2}$

O volume do prisma é B*h 

$\frac{27 \sqrt{3} }{2} *6=81 \sqrt{3}$

Answer 2

1) No prisma reto as arestas laterais tem o mesmo comprimento e são perpendiculares aos planos das bases inferior e superior;

2) AB= D (diagonal maior da base)
    AD = h = 2a , onde h= altura e a= aresta
    Sr = 36cm^2
    Vp= ?

3) Calcular a diagonal menor (d) da base

$d^{2} = a^{2}+ a^{2} -2 a*a*cos120 \\ \\ d^{2} =2 a^{2} -2 a^{2} (- \frac{1}{2} ) \\ \\ d^{2} =3 a^{2}$

4) Calcular a diagonal maior (D) da base

$D^{2} = d^{2} + a^{2} \\ \\ D^{2} =3 a^{2} + a^{2} \\ \\ D^{2} =4 a^{2} \\ \\ D=2a$

Concluímos que este é um prisma regular reto, ou seja, o quadrilátero formado pelas diagonais maiores das bases (superior e inferior) com as arestas laterais é um quadrado; (observe que a questão fala em retângulo - deveria falar em quadrilátero ou afirmar que era um quadrado para que se possa calcular os lados);

5) AD*AB= 36cm^2

h*D=36

$2a*2a= 36 \\ \\ 4 a^{2} =36 \\ \\ a^{2} = \frac{36}{4} \\ \\ a= \sqrt{9} \\ \\ a=3cm$

6) Calcular o volume do prisma

$V= S_{b} *h \\ \\ S_{b}= \frac{6 \sqrt{3}* a^{2} }{4} \\ \\ S_{b} = \frac{6 \sqrt{3} * 3^{2} }{4} \\ \\ S_{b}= \frac{27 \sqrt{3} }{2} \\ \\ \\ V= \frac{27* \sqrt{3} }{2} *6 \\ \\ V= 81* \sqrt{3} \\ \\ V= 140,3 cm^{3}$