Question

Na geometria, é comum a expressão "linha poligonal", que significa sucessão de segmentos consecutivos e não-colineares, dois a dois. Assim, define-se como polígono uma figura poligonal fechada que não se entrelaça. A palavra "polígono" vem do grego "polígonos", que significa ter muitos lados ou ângulos. Por outro lado, denomina-se por diagonal, o segmento de reta que une um vértice ao outro, e o número de diagonais de um polígono é proporcional ao número de lados. Nesse sentido, seja um polígono P, cujo número de diagonais é o quádruplo do número de lados, indique, dos polígonos a seguir, qual representa P: Alternativas Alternativa 1: Octógono. Alternativa 2: Hexágono. Alternativa 3: Pentágono.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Chicochiquinha, que a resolução é simples. 
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento. 

i) Tem-se que o polígono da sua questão tem o número de diagonais igual ao quádruplo do número de lados. 

ii) Veja como é simples: o número de diagonais de um polígono é dado por:

d = n*(n-3)/2 , em que "d" é o número de diagonais e "n" é o número de lados. 

No caso da sua questão temos que o número de diagonais é o quádruplo (4 vezes) o número de lados. Então deveremos ter a seguinte lei de formação: 

d = 4n ---- mas como já vimos que d = n*(n-3)/2, então basta substituir, ficando:

n*(n-3)/2 = 4n ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
n*(n-3) = 2*4n ---- efetuando os produtos indicados nos 2 membros, temos:
n² - 3n = 8n ----- passando "8n" para o 1º membro, temos: 
n² - 3n - 8n = 0 ----- como "-3n-8n = -11n", ficaremos com: 
n² - 11n = 0 ---- vamos colocar "n" em evidência, com o que ficaremos: 
n*(n - 11) = 0 ---- note que aqui temos o produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, um dos fatores é nulo. Então teremos as seguintes possibilidades:

ou 
n = 0 ----> n' = 0 

ou 
n-11 = 0 ----> n'' = 11. 

Como um polígono não pode ter "0" lados, então ficaremos apenas com a outra raiz (n = 11). Assim, teremos que o número de lados desse polígono será: 

n = 11 lados <--- Esta é a resposta. É um polígono de 11 lados. É um undecágono.

Dentre as alternativas que você deu nenhuma "bate" com a resposta que demos acima. Reveja se não falta você colocar mais algumas alternativas e que informe que o polígono tem 11 lados, ok?

É isso aí. 
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.