Na formação do profissional das Engenharias, o estudo dos diversos conceitos da Matemática é um artifício usado para colaborar na resolução de diversas situações problemas. Dentro destes recursos, podemos citar o cálculo da integral definida para determinar valores de áreas e volumes, determinados em funções e gráficos.
O arquiteto Nier desenvolveu um projeto para construir um reservatório sustentável. Sabe-se que o local onde o reservatório será construído é a região delimitada pelos gráficos de f e g no mesmo terreno. Com unidade de medida graduada em metros.
Sendo f(x) = 2x² - 7x e g(x) = -2x² + 7x, desenvolva cada item.
a) Utilizando o Plano Cartesiano, faça o gráfico de cada função e destaque a região que será ocupada pelo reservatório.
b) Trabalhando com cálculo de Integral Definida, determine a área da região ocupada pelo reservatório no terreno.
c) Se a profundidade do reservatório mede 2,4m apresente a capacidade máxima em litros desse reservatório.
d) O cliente gostou do projeto apresentado pelo arquiteto Nier, porém solicitou uma ampliação de 30% na capacidade do reservatório. Para atender a esse pedido, qual deve ser a nova profundidade do reservatório sem alterar sua área de ocupação do terreno?
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Ensino médio (secundário) Física 5 pontos
Na formação do profissional das Engenharias, o estudo dos diversos conceitos da Matemática é um artifício usado para colaborar na resolução de diversas situações problemas. Dentro destes recursos, podemos citar o cálculo da integral definida para determinar valores de áreas e volumes, determinados em funções e gráficos.
O arquiteto Nier desenvolveu um projeto para construir um reservatório sustentável. Sabe-se que o local onde o reservatório será construído é a região delimitada pelos gráficos de f e g no mesmo terreno. Com unidade de medida graduada em metros.
Sendo f(x) = 2x² - 7x e g(x) = -2x² + 7x, desenvolva cada item.
a) Utilizando o Plano Cartesiano, faça o gráfico de cada função e destaque a região que será ocupada pelo reservatório.
b) Trabalhando com cálculo de Integral Definida, determine a área da região ocupada pelo reservatório no terreno.
c) Se a profundidade do reservatório mede 2,4m apresente a capacidade máxima em litros desse reservatório.
d) O cliente gostou do projeto apresentado pelo arquiteto Nier, porém solicitou uma ampliação de 30% na capacidade do reservatório. Para atender a esse pedido, qual deve ser a nova profundidade do reservatório sem alterar sua área de ocupação do terreno?
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Precisa de esclarecimento? Seguir Denunciar! por Josemartins2005 há 6 dias
Respostas
Eu · Principiante
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marcusviniciusbelo
marcusviniciusbelo Excelente
A área entre os gráficos vale 28,58 unidades de área.
a) Anexei o gráfico com as funções f(x) (verde) e g(x) (azul). A região pintada de vermelho é a nossa área.
b) Vamos olhar para o gráfico anexado. Vemos que f(x) e g(x) se cruzam em:
f(x) = g(x)
2x² - 7x = -2x² + 7x
4x² - 14x = 0
2x*(2x - 7) = 0
2x = 0
x = 0
2x - 7 = 0
x = 7/2 = 3,5
Logo, f(x) e g(x) se cruzam em (0,0) e (3,5 , 0). Nesse intervalo, vemos que g(x) está acima de f(x), logo utilizaremos o termo [g(x) - f(x)], ou seja, a de cima menos a de baixo. Logo, a área será:
A = \int\limits^{3,5}_0 {[g(x) - f(x)]} \, dx = \int\limits^{3,5}_0 {[-2x^2 + 7x - 2x^2 + 7x]} \, dx = \int\limits^{3,5}_0 {[-4x^2 + 14x]} \, dx = [-4x^3/3 + 7x^2]|^{3,5}_0 = (-57,17 + 85,75 - 0 - 0) = 28,58 u.a.
c) A capacidade máxima será o volume do sólido formado. Como já temos a área da base desse sólido, o volume será:
V = A*h = 28,58*2,4 = 68,59 u.v.
d) O novo volume será 30% maior que o volume inicial, ou seja, ele será 100% + 30% = 130% do volume original. Logo:
V' = 130% de V = 1,3V = 1,3*68,59 = 89,17 u.v.
A*h' = 89,17
(28,58)h' = 89,17
h' = 3,12 m