Question

Na formação do profissional das Engenharias, o estudo dos diversos conceitos da Matemática é um artifício usado para colaborar na resolução de diversas situações problemas. Dentro destes recursos, podemos citar o cálculo da integral definida para determinar valores de áreas e volumes, determinados em funções e gráficos.

O arquiteto Nier desenvolveu um projeto para construir um reservatório sustentável. Sabe-se que o local onde o reservatório será construído é a região delimitada pelos gráficos de f e g no mesmo terreno. Com unidade de medida graduada em metros.

Sendo f(x) = 2x² - 7x e g(x) = -2x² + 7x, desenvolva cada item.



a) Utilizando o Plano Cartesiano, faça o gráfico de cada função e destaque a região que será ocupada pelo reservatório.

b) Trabalhando com cálculo de Integral Definida, determine a área da região ocupada pelo reservatório no terreno.

c) Se a profundidade do reservatório mede 2,4m apresente a capacidade máxima em litros desse reservatório.

d) O cliente gostou do projeto apresentado pelo arquiteto Nier, porém solicitou uma ampliação de 30% na capacidade do reservatório. Para atender a esse pedido, qual deve ser a nova profundidade do reservatório sem alterar sua área de ocupação do terreno?

Importante:

Answer 1

A área entre os gráficos vale 28,58 unidades de área.

a) Anexei o gráfico com as funções f(x) (verde) e g(x) (azul). A região pintada de vermelho é a nossa área.

b) Vamos olhar para o gráfico anexado. Vemos que f(x) e g(x) se cruzam em:

f(x) = g(x)

2x² - 7x = -2x² + 7x

4x² - 14x = 0

2x*(2x - 7) = 0

2x = 0

x = 0

2x - 7 = 0

x = 7/2 = 3,5

Logo, f(x) e g(x) se cruzam em (0,0) e (3,5 , 0). Nesse intervalo, vemos que g(x) está acima de f(x), logo utilizaremos o termo [g(x) - f(x)], ou seja, a de cima menos a de baixo. Logo, a área será:

$A = \int\limits^{3,5}_0 {[g(x) - f(x)]} \, dx = \int\limits^{3,5}_0 {[-2x^2 + 7x - 2x^2 + 7x]} \, dx = \int\limits^{3,5}_0 {[-4x^2 + 14x]} \, dx = [-4x^3/3 + 7x^2]|^{3,5}_0 = (-57,17 + 85,75 - 0 - 0) = 28,58 u.a.$

c) A capacidade máxima será o volume do sólido formado. Como já temos a área da base desse sólido, o volume será:

V = A*h = 28,58*2,4 = 68,59 u.v.

d) O novo volume será 30% maior que o volume inicial, ou seja, ele será 100% + 30% = 130% do volume original. Logo:

V' = 130% de V = 1,3V = 1,3*68,59 = 89,17 u.v.

A*h' = 89,17

(28,58)h' = 89,17

h' = 3,12 m

Você pode aprender mais sobre Cálculo aqui: https://brainly.com.br/tarefa/20009976

Answer 2

Resposta:

Muito obrigado por nos ajudar !!

Explicação: