Question

na figura,um quadrado e um octógono regular estão inscritos numa circunferencia.
a) qual dos poligonos tem maior perimetro?
b)o perímetro de um poligono regular incrito de 16 lados é maior do que o perímetro do octogono?
c)quando o número de lados aumenta, o perimetro do oligono regular incrito aumentaou diminui?

Answer 1

Vamos fazer uma relação entre o lado de cada polígono e o raio do mesmo.

Quadrado:

$ac=\frac{360}{4}=90$

O cateto oposto ao ângulo de 45° é metade do lado do quadrado e o raio é hipotenusa. A relação trigonométrica que envolve as duas é o seno.

$\sin(45)=\frac{\frac{l4}{2}}{R}\\ l4=2R\sin(45)$

$l4=2R.\frac{\sqrt{2}}{2} \\ l4=R\sqrt{2}$

$p=4l4=4R\sqrt{2}=5,65R$

Octógono:

$ac=\frac{360}{8}=45$

O cateto oposto ao ângulo de 22,5° é metade do lado do octógono e o raio é a hipotenusa.

$\sin(22,5°) =\frac{\frac{l8}{2}}{R}\\ l8=2R\sin(22,5°)$

$l8=2R. 0,38 \\ l8=0,76R$

$p=8l8=8.0,76R=6,08R$

a) o octógno apresenta maior perímetro.

b)

$ac=\frac{360}{16}=22,5°$

O cateto oposto ao ângulo de 11,25° é metade do lado do polígono de 16 lados e o Raio é a hipotenusa.

$\sin(11,25)=\frac{\frac{l16}{2}}{R} \\ l16=2R\sin(11,25°)$

$l16=2R. 0,19=0,38R$

$p=16.l16=16.0,38R=6,08R$

Então o perímetro do polígono de 16 lados é igual ao perímetro do octógono.

c)

Nem sempre aumenta. Basta observar o caso do polígono de 16 lados e o octógono.