Question

Na figura, têm -se um triângulo abc e um losango decf, tal que seus vértices d, e é f são pontos que pertencem, respectivamente, aos lados ab, ac e bc do triângulo abc. (segue a imagem) se cos â=43/48,ab=4 e ac=6,então a medida do lado do losango é a) 1 b) 3/2 c) 2 d) 5/2 e) 3​

Answer 1

Lei dos cossenos:

A² = b² + c² - 2 . b . c . cosâ

A² = 6² + 4² - 2 . 6 . 4 . 43/48

A² = 36 + 16 - 2064/48

A² = 52 - 43

A² = 9

A = √9

A = 3

Lei dos senos:

3/sen26,38 = 6/senb

3/0,44 = 6/senb

3senb = 0,44 .6

3senb = 2,64

senb = 2,64/3

senb = 0,88

b = arcsen0,88

b = 61,64º

Sabendo-se que a somatória dos triângulos internos de todo triângulo é igual a 180º:

â + b + c = 180

26,38 + 61,64 + c = 180

88,02 + c = 180

c = 180 - 88,02

c = 91,98º

Sabendo-se que 2 ângulos consecutivos são sempre suplementares no losango:

91,98 + x = 180

x = 180 - 91,98

x = 88,02º

88,02 + y = 180º

y = 180 - 88,02

y = 91,98

Sabendo-se que a somatória dos ângulos internos do triângulo DFB deve ser igual a 180º:

91,98 + 61,64 + z = 180

153,62 + z = 180

z = 180 - 153,62

z = 26,38

Sabendo-se que as diagonais do losango são bissetrizes do seu vértice:

α = 91,98/2

α = 45,99

Lei dos senos, novamente, para que descubramos a medida da diagonal maior do losango (D):

3/sen(26,38 + 45,99) = D/sen61,64

3/sen72,37 = D/sen61,64

3/0,95 = D/0,88

0,95D = 2,64

D = 2,64/0,95

D = 2,78

Medida da metade da diagonal maior, que será necessária no prosseguimento do cálculo:

D/2 = 1,39

Sabendo-se novamente que as diagonais do losango são bissetrizes de seus vértices, novamente:

β = 88,02/2

β = 44,01

Trigonometria no losango, após a descoberta da diagonal maior (D), e chamando o lado do losango de Θ:

sen44,01 = 1,39/Θ

0,695 = 1,39/Φ

0,695Θ = 1,39

Θ = 1,39/0,695

Θ = 2

Resposta: alternativa C

Answer 2

Explicação:

Primeiro vamos descobrir CB, assim que isso rola é só fazer semelhança entre os triângulo ABC e ADE, se liga:

Lei dos Cossenos

CB² = 6² + 4² - 2 . 6 . 4 . 43/48

CB² = 36 + 16 - 43

CB² = 9

CB = 3

(Lembra que o -3 também é resultado, mas aqui ele não convém já que não existe distancia negativa)

Agora vamos fazer semelhança entre ABC e ADE

$\frac{CB}{DE} = \frac{AC}{AE}$

Fica esperto que AE = 6 - EC e EC = DE (isso acontece porque é um losango), então teremos:

$\frac{3}{DE} = \frac{6}{6-DE} \\\\6 - DE = 2DE \\\\DE = 3$

Pra mais dicas dá uma olhada no meu canal: https://www.youtube.com/channel/UCeEhpKWztvqPFshWGV2lHuA