Question

Na figura tem-se

AB = AC e AD = DC = CB

O ângulo ã mede :

A) 20°
B) 30°
C) 32°
D) 36°
E) 40°

Answer 1

Resposta:

36°

Explicação passo-a-passo:

Cara a principal ideia que eu tive foi lembrar que independente do triângulo a soma dos ângulos dá 180° e reparar que esses 3 triângulos todos são isósceles ou seja, todos eles tem 2 lados iguais e um diferente, aí você percebe que os outros 2 ângulos do triângulo grande sem ser o alfa são ângulos iguais e sua soma dá 180.

A primeira coisa foi escrever que

alfa+2x=180

Só que são 2 variáveis né, aí eu precisava de mais uma relação com alfa e x para safar esses 2 fazendo um sistema.

Por ser um triângulo isoceles, todos os 3 triângulos vão ter 2 ângulos iguais tmb. Aí vemos que o ângulo bdc é igual ao ângulo x tmb. E esse ângulo que está em cima dele + ele tem que dar 180 tmb pq é uma reta né tem que dar meia volta. Então eu escrevi esse ângulo como 180-x (já que é o ângulo que falta com o x para dar 180). E aí que tá, como o triângulo que tem o alfa também é isoceles olhando para a figura você vê que tem 2 alfas dentro desse triângulo (o triângulo ACD) e essa soma tmb tem que dar 180, logo:

Alfa+alfa+180-x=180

2alfa-x=180-180

2alfa-x=0

Tá aí a outra equação para fazer o sistema, aí é só fazer igual eu fiz na foto.

Resolvendo a equação cheguei que alfa era 180/5=36°

Uma coisa que não ficou boa no desenho é que veja que esse x do canto esquerdo são os 2 ângulos cortados e não só 1.

Cara talvez tenha uma maneira mais simples de fazer, mas eu pensei nessa aí, abraço.

Answer 2

O ângulo α mede 36°, alternativa D.

De acordo com o enunciado, temos que:

• AB = AC, então o triângulo ABC é isósceles;
• AD = DC, então ADC é isósceles;
• DC = CB, então BCD é isósceles.

Em um triângulo isósceles, os ângulos da base são sempre iguais, portanto, temos:

$A\^CB = A\^BC \ (1)\\ C\^AD = A\^CD = \alpha \ (2)\\ B\^DC = C\^BD \ (3)$

Da equação 2, podemos concluir que o ângulo $C\^DA$ mede 180° - 2α.

Sabemos também que os ângulos $A\^DC$ e $B\^DC$ são suplementares, logo:

$A\^DC+B\^DC=180 \°\\ 180\° - 2\alpha + B\^DC=180 \°\\ B\^DC = 2\alpha$

Da equação 3, temos que $B\^DC = C\^BD = 2\alpha$ então $A\^CB=2\alpha$.

Finalmente, temos que o triângulo ABC é formado pelos ângulos α, 2α e 2α. Como a soma dos ângulos é 180°:

α + 2α + 2α = 180°

5α = 180°

α = 36°

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