Question

Na figura seguinte, tem-se uma esfera de maior raio contida num cone reto e tangente ao plano da base deste. Sabe-se que o raio da base e a altura desse cone são, respectivamente, iguais a 6 cm e 8 cm. Calcule a metade do volume da região do cone exterior à esfera.

Answer 1

• O volume do cone exterior à esfera refere-se à diferença entre o volume do cone e o volume da esfera.

• Considere:

R: raio da base do cone (R = 6 cm)

r: raio da esfera

h: altura do cone (h = 8 cm)

$\large \sf A_{bc}$: área da base do cone

• O volume do cone é obtido por:

$\large \text { \sf V_C= \dfrac{A_{bc} \cdot h}{3} = \dfrac{\pi R^2\cdot h}{3} = \dfrac{\pi 6^2\cdot 8}{3} = 96 \pi ~cm^3 }$

• O volume da esfera é obtido por:

$\large \sf V_E= \dfrac{4 \pi r^3}{3}$

Para obter o raio da esfera utilize semelhança de triângulos: observe que o triângulo ADO é semelhante ao triângulo ABC pois compartilham o ângulo no vértice A e ambos possuem um ângulo reto, portanto são semelhantes pelo caso AA (ângulo-ângulo). (Veja na imagem anexa).

$\large \sf \dfrac{r}{6} = \dfrac{8-r}{10}$

10r = 6 • (8 − r)

10r = 48 − 6r

10r + 6r = 48

16 r = 48

$\large \sf r= \dfrac{48}{16}$

r = 3 cm

$\large \sf V_E= \dfrac{4 \pi r^3}{3} = \dfrac{4 \pi 3^3}{3} = 4 \pi 3= 12 \pi ~ cm^3$

• Cálculo da diferença entre o volume do cone e o volume da esfera.

$\large \sf V _C - V_E= 96 \pi - 12 \pi = 84 \pi ~cm^3$

• Cálculo do que se pede: A metade do volume do cone exterior à esfera.

$\large \sf \dfrac{V _C - V_E}{2} = \dfrac{84 \pi}{2} = 42 \pi ~cm^3$

A metade do volume do cone exterior à esfera é de 42π cm³.

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