Question

Na figura seguinte, BD é bissetriz do ângulo ABC e CE é bissetriz do ângulo ACB. O valor de x é:

Answer 1

Olá Victor!

Como BD é bissetriz do ângulo B, este ângulo fica dividido em duas partes congruentes; assim, tome cada uma dessas partes como sendo 'y'. Isto é,

$\mathbf{\widehat{B} = y + y}$

De modo análogo, considere

$\mathbf{\widehat{C} = z + z}$

Isto posto, olhe para o $\mathbf{\Delta EBC}$ e note que:

$\\ \mathsf{B\widehat{E}C + A\widehat{E}C= 180^o} \\\\ \mathsf{80^o + A\widehat{E}C = 180^o} \\\\ \boxed{\mathsf{A\widehat{E}C = 100^o}}$

Por conseguinte, pelo Teorema do Ângulo Externo:

$\mathbf{2y + z = 100^o \qquad \qquad (i)}$

Analogamente, em relação ao triângulo BCD, tiramos que:

$\mathbf{y + 2z = 110^o \qquad \qquad (ii)}$

Ora, resolvendo o sistema de equações formado por (i) e (ii)...

$\\ \displaystyle \begin{cases} \mathsf{2y + z = 100^o} \\ \mathsf{y + 2z = 110^o \qquad \times (- 2)} \end{cases} \\\\\\ \begin{cases} \mathsf{2y + z = 100^o} \\ \mathsf{- 2y - 4z = - 220^o} \end{cases} \\ ---------- \\ \mathsf{z - 4z = 100^o - 220^o} \\\\ \mathsf{- 3z = - 120^o} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{z = 40^o}}}$

E,

$\\ \displaystyle \mathsf{2y + z = 100^o} \\\\ \mathsf{2y + 40^o = 100^o} \\\\ \mathsf{2y = 60^o} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{y = 30^o}}}$

Por fim, quanto ao triângulo ABC,

$\\ \displaystyle \mathsf{\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^o} \\\\ \mathsf{x + (y + y) + (z + z) = 180^o} \\\\ \mathsf{x + (30^o + 30^o) + (40^o + 40^o) = 180^o} \\\\ \mathsf{x + 60^o + 80^o = 180^o} \\\\ \mathsf{x = 180^o - 140^o} \\\\ \boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{x = 40^o}}}}$